🌏 2025학년도 외대 자연계 논술 기출

자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 다음의 명제가 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 45^n$ 인 원 위에는 $\displaystyle x$ 좌표와 $\displaystyle y$ 좌표가 모두 자연수인 점이 있다.

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2^x & (x<3) \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+a}-\left(\frac{1}{5}\right)^{3+a}+8 & (x\ge 3)\end{cases}$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 중에서 $\displaystyle y$ 좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때, 정수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,2)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(-1,-2)$ , $\displaystyle \mathrm{C}(1,-2)$ , $\displaystyle \mathrm{D}(1,2)$ 인 직사각형의 네 변으로 둘러싸인 도형은 함수 $\displaystyle f(x)=(x+1)(x-a)(x-1)$ 의 그래프에 의해 두 부분으로 나누어진다. 나누어진 부분 중 위쪽과 아래쪽의 넓이를 각각 $\displaystyle S_1$ , $\displaystyle S_2$ 라고 할 때 $\displaystyle S_1:S_2=5:4$ 이다. 이때 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle -1<a<0$ )

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>0$ )

(가) $\displaystyle f(x)$ 는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다.

(나) $\displaystyle f(a)=0$

(다) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle (x-2a)f(x)\ge 0$

(라) $\displaystyle f(x)$ 의 극솟값은 $\displaystyle -500$ 이다.

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x^2+12x+8 & (x<0) \\ 2x^2-8x+8 & (x\ge 0)\end{cases}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $\displaystyle n$ 의 값의 합을 구하시오.함수 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} 2f(x) & (x<a) \\ 6n-f(x) & (x\ge a)\end{cases}$ 이 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 연속이 되도록 하는 상수 $\displaystyle a$ 의 개수는 4이다.

세 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=a\sin bx+c$ 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $\displaystyle a\times b\times c$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(가) $\displaystyle f(0)\le 10$

(나) $\displaystyle 0<x<2\pi$ 일 때, 방정식 $\displaystyle f(x)=a^2$ 의 해의 개수는 5이다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}(-2,0)$ 을 지나는 직선 $\displaystyle l$ 이 곡선 $\displaystyle y=\frac{|4x^2+3x-1|}{4}$ 과 서로 다른 세 점에서 만날 때, 직선 $\displaystyle l$ 과 곡선 $\displaystyle y=\frac{|4x^2+3x-1|}{4}$ 이 만나는 모든 점의 $\displaystyle x$ 좌표의 합을 구하시오.