C024지수함수와 로그함수의 넓이

일차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 이차함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=a(x+1),\qquad g(x)=b(x+c)^2$ 일 때, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3$ (나) $\displaystyle f(x)-g'(x)=1$ 두 함수 $\displaystyle y=\log_2 f(x)$ , $\displaystyle y=\log_2\sqrt{g(x)}$ 의 그래프가 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 다항식 f, g에 대한 대수 조건으로 계수를 먼저 확정한 뒤 y=log_2 f(x)와 y=log_2 g(x)의 그래프가 만나는 점을 구하는 흐름이 동일하다.

다른 점 · 수특은 두 일차식이고 교점으로 삼각형 넓이를 묻지만, 논술은 g가 이차식이라 진수 √g(x)의 절댓값 처리와 g'(x) 조건이 더해졌다.

두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프가 점 $\displaystyle \mathrm{R}_1(2,\ 0)$ 에서 만난다. 직선 $\displaystyle y=1$ 이 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$ 의 넓이를 $\displaystyle a_1$ 이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1$ 위의 점 중 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{R}_2$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2$ 가 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_2$ 라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{R}_2$ 의 넓이를 $\displaystyle a_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$ 번째 얻은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n$ 의 넓이를 $\displaystyle a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n+b_n=1-\frac{1}{2\times3^n}$ 을 만족시키는 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle 1458S_3$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수평선(y=3, y=4 / y=n)이 두 지수·로그 곡선과 만나는 두 점의 x좌표 차를 밑변으로 삼각형 넓이를 계산하는 절차가 동일하다.

다른 점 · 논술은 이를 자연수 n으로 일반화해 넓이를 수열 a_n으로 놓고 b_n의 부분합까지 구하게 확장했다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표를 $\displaystyle (-2,\ 0)$ 이라 하고, 함수 $\displaystyle f(x)=\log_2(x+2)$ 의 그래프가 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. $\displaystyle 2$ 이상인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2^n$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PBO}$ , $\displaystyle \mathrm{PBA}$ 의 넓이의 차를 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle S_n>2026$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.)

교재와 닮은 점 · 로그함수 그래프 위 점의 좌표를 로그식으로 나타내 두 삼각형의 넓이를 비교하는 같은 접근을 쓴다.

다른 점 · 수특은 넓이 비 S:T=6:1로 밑 a를 구하고, 논술은 넓이 차 S_n=log_2(2+2^n)-1을 n에 대한 식으로 만들어 부등식 S_n>2026을 푼다.

상수 $\displaystyle a\,(a>1)$ 와 양수 $\displaystyle t\,(t>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=\log_a x+3$ 과 곡선 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}} x+1$ 이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle x=t$ 와 두 곡선이 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{10}{3}$ 이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\displaystyle \dfrac{16}{3}$ 일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle t$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 정수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 밑이 서로 역수인 두 로그곡선의 교점을 A로 두고 수직선과의 두 교점 B, C로 삼각형을 만들어 길이와 넓이를 로그식으로 계산하는 구성이 같다.

다른 점 · 수특은 정삼각형 조건에서 사각형 넓이를 묻지만, 논술은 두 곡선이 각각 +3, +1만큼 평행이동돼 있고 AB=10/3과 넓이 16/3을 연립해 a와 t를 모두 구한다.

두 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 과 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 두 지수곡선의 교점의 x좌표를 지수방정식을 풀어 로그로 나타내고, 좌표축과의 교점을 밑변으로 삼아 삼각형의 넓이를 계산한다.

다른 점 · 교재는 x축 위의 점과 원점을 쓰고, 논술은 y축 위의 두 점 B, C를 밑변으로 쓴다.

곡선 $\displaystyle y=\log_2(x-1)+2$ 가 직선 $\displaystyle y=2$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ ,곡선 $\displaystyle y=\log_2(x-1)+2$ 가 직선 $\displaystyle y=5$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ ,점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACB}$ 의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 로그곡선과 두 수평선의 교점 A, B의 좌표를 로그방정식을 풀어 구하고, 그 점들과 x축 위의 점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 계산한다.

다른 점 · 교재는 넓이가 3으로 주어져 밑의 계수 a를 역으로 구하고, 논술은 곡선이 확정된 상태에서 넓이를 직접 구한다.