🌱 2026학년도 가천대 자연 논술 기출 (1세트)

방정식 $\displaystyle 5\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a=1$ 이 실근을 가지도록 하는 실수 $\displaystyle a$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

첫째항이 $\displaystyle \frac{47}{45}$ 인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=a_n+(-1)^n\times\frac{2n+1}{n(n+1)}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle a_{2025}=\frac{q}{p}$ 이다. $\displaystyle \sqrt{p}+q$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)(단, $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.)

$\displaystyle a>0$ 인 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=ax^3$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (5,\ f(5))$ 에서의 접선의 방정식이 점 $\displaystyle (4,\ 2)$ 를 지날 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

$\displaystyle a=\log_4 27$ , $\displaystyle b=\log_9 25$ 일 때, $\displaystyle \log_5 10=1+\frac{1}{pab}$ 이고 $\displaystyle \log_6 10=\frac{1+pab}{1+qa}$ 이다. $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (10점)

두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프가 점 $\displaystyle \mathrm{R}_1(2,\ 0)$ 에서 만난다. 직선 $\displaystyle y=1$ 이 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$ 의 넓이를 $\displaystyle a_1$ 이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1$ 위의 점 중 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{R}_2$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2$ 가 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_2$ 라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{R}_2$ 의 넓이를 $\displaystyle a_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$ 번째 얻은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n$ 의 넓이를 $\displaystyle a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n+b_n=1-\frac{1}{2\times3^n}$ 을 만족시키는 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle 1458S_3$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=x^4+ax^3+x^2\int_2^3 tf'(t)\,dt+52x$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle f(2)$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\frac{x}{f(x)-x}=\frac{1}{2}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{35xf(x)+5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2+3xf(x)-2x^2}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 두 함수 $\displaystyle f(x)=-\log_2(k+1)x$ , $\displaystyle g(x)=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right)$ 이 있다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle h(x)$ 를 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}f(x) & (g(x)<f(x))\\ g(x) & (g(x)\ge f(x))\end{cases}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=\log_2 k$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $\displaystyle l(k)$ 라 할 때, $\displaystyle \frac{10}{3}\times\sum\limits_{k=1}^{9}l(k)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f(a+b)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (10점)

(가) $\displaystyle f(2)=f'(2)$

(나) $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{15}\lim_{h\to0}\frac{f(k+1+h)-f(k+1-2h)}{5h}=90$