C009조건이 주어질 때 식의 값 구하기

방정식 $\displaystyle \log_5\left(5^x+10\right)=\dfrac{x}{2}+\log_5\dfrac{10}{25}+2$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 할 때, $\displaystyle \dfrac{1}{5^{\alpha}}+\dfrac{1}{5^{\beta}}$ 의 값을 $\displaystyle m$ 이라 하자.정의역이 $\displaystyle \left\{x\ \middle|\ -\sqrt[5]{5}\le x\le-\dfrac{1}{125}\right\}$ 인 함수 $\displaystyle y=-\log_5(-x)+a$ 의 최댓값은 $\displaystyle M$ 이고 최솟값이 $\displaystyle m$ 일 때, $\displaystyle a$ , $\displaystyle M$ , $\displaystyle m$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 후보 문항은 지수와 로그 단원에서 이차방정식의 근과 계수의 관계로 α³+β³ 같은 대칭식을 구한다. 논술도 5ˣ=k 치환으로 얻은 이차방정식에서 5^α+5^β, 5^{α+β}를 이용해 1/5^α+1/5^β를 구한다.

다른 점 · 논술은 앞에 로그방정식 정리가 있고, 뒤에는 정의역이 제한된 로그함수의 최대·최소까지 묻는다.

그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt[4]{5},\quad \overline{\mathrm{CB}}=\sqrt[4]{20},\quad \overline{\mathrm{DB}}=\sqrt[4]{1.25}$ 인 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 잡는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{P}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}}$ , $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

교재와 닮은 점 · 수능특강은 AB를 지름으로 하는 원 위에서 CA=⁴√3, CB=⁴√12 일 때 수선의 발 H에 대한 AH를 구한다. 논술은 CA=⁴√5, CB=⁴√20 으로 숫자만 바꾼 같은 직각삼각형 닮음 계산이다.

다른 점 · 논술은 점 D와 수선의 발 Q를 추가해 QB와 AB/PQ 까지 묻는다.

그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt[6]{3}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}}=\sqrt[6]{24}$ 인 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 잡는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=a$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=b$ 라 하자.이차방정식 $\displaystyle x^2-ax-\sqrt[6]{648}\,b=0$ 을 만족하는 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 할 때, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 그리고 $\displaystyle \alpha^3+\beta^3$ 의 값을 구하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 교재는 AB를 지름으로 하는 원 위 CA=⁴√3, CB=⁴√12인 점 C에서 수선의 발 H를 잡아 AH를 구하고, 논술은 CA=⁶√3, CB=⁶√24로 BH와 CH를 구한다. 직각삼각형의 닮음과 지수법칙으로 거듭제곱근을 정리하는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 구한 a,b를 계수로 하는 이차방정식의 두 근으로 α^3+β^3까지 구하게 해 근과 계수의 관계를 덧붙였다.