C019로그의 성질의 활용 : 식의 값 구하기3년 연속

교재 12문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$\log_aM+\log_aN=\log_aMN$ , $\log_aM^k=k\log_aM$ , 밑변환 $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ , 그리고 $a^{\log_ab}=b$ . 마지막 항등식이 지수와 로그가 섞인 식을 푸는 열쇠다.

해법

1지수 자리에 로그가 있으면 밑을 맞춰 $a^{\log_ab}=b$ 로 지워 버린다.
2남은 로그는 밑을 하나로 통일한다.
3구하려는 식을 주어진 로그값들의 일차결합으로 나타낸다.
4진수 조건( $>0$ )과 밑 조건( $>0$ , $\ne1$ )으로 답을 거른다.

공략

· $9^{\log_3x}=\left(3^{\log_3x}\right)^2=x^2$ — 밑을 맞추는 순간 로그가 통째로 사라진다.
· 로그값을 좌표로 갖는 점이 나오면 두 점의 기울기와 절편이 곧 로그의 차와 합이다.
· 해가 여러 개 나오면 진수조건으로 버리는 과정을 반드시 쓴다. 답만 맞고 이 서술이 없으면 감점된다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	5	5	2
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	5%/99문항	9%/58문항	6%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 10번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 18번

$\displaystyle a=\log_4 27$ , $\displaystyle b=\log_9 25$ 일 때, $\displaystyle \log_5 10=1+\frac{1}{pab}$ 이고 $\displaystyle \log_6 10=\frac{1+pab}{1+qa}$ 이다. $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 로그를 지수 형태(2^{2a}=3^3 등)로 고쳐 밑을 통일하고 밑변환 공식으로 다른 로그를 표현하는 같은 소단원의 도구를 쓴다.

다른 점 · 수특은 두 로그 조건에서 a, b 자체를 구하지만, 논술은 주어진 a, b로 log_5 10, log_6 10을 나타내는 문자식 변형이다.

2025 한국기술교육대 2번4점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그

두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle (0,\ \log_2 a)$ , $\displaystyle (1,\ \log_2 b)$ 를 지나는 직선이 점 $\displaystyle (3,\ 2)$ 를 지날 때, $\displaystyle \dfrac{b^3}{a^2}$ 의 값을 구하시오. (4점)

교재와 닮은 점 · 교재는 직선 y=2x+3이 (0, log_2 ab), (1, log_2 b/a)를 지날 때 a+b, 논술은 (0, log_2 a), (1, log_2 b)를 지나는 직선이 (3,2)를 지날 때 b^3/a^2이다. 로그값을 좌표로 갖는 두 점의 기울기·절편을 로그의 성질로 묶는 점이 같다.

다른 점 · 논술은 직선을 먼저 세우고 제3의 점을 대입해 3log_2 b-2log_2 a 꼴로 정리하게 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 01. 지수와 로그 1030번

등식

$\displaystyle{9^{\log_3 x} + \log_{27} \left(\frac{1}{3}\right)^x + 3^{\log_3 y - \log_3 4} = 0}$

을 만족시키는 두 양수 $\displaystyle{x, y}$ 에 대하여 $\displaystyle{x = \alpha}$ 일 때 $\displaystyle{y}$ 가 최댓값 $\displaystyle{\beta}$ 를 갖는다. $\displaystyle{\alpha + \beta}$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 01. 지수와 로그 6번

$\displaystyle{\log _{2}(a+1)=1-\log _{2}(b-1)}$ 을 만족시키는 두 정수 $\displaystyle{a, b}$ 에 대하여 $\displaystyle{\log _{2}\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}$ 의 최솟값은?

2025학년도 완성수학Ⅰ 01. 지수함수와 로그함수 12번

$\displaystyle \log _{{4}} 27 \times \log _{{9}} 8 \times \left ( 2^{{\log _{{3}} 5}} \right ) ^{{\log _{{5}} 9}}$ 의 값은?

2027학년도 특강수학Ⅰ 01. 지수와 로그 1030번

등식

$\displaystyle{9^{\log_3 x} + \log_9 \left( \frac{1}{3} \right)^x + 3^{\log_3 y - \log_3 2} = 0}$

같은 단원의 다른 개념

C024 지수함수와 로그함수의 넓이기출 6공략 C054 로그함수의 넓이의 활용기출 4공략 C017 로그의 밑의 변환기출 3공략 C005 거듭제곱근이 자연수가 되는 미지수 구하기기출 3공략 C009 조건이 주어질 때 식의 값 구하기기출 3공략 C001 거듭제곱근의 정의기출 2공략 C049 로그함수 그래프의 평행이동과 대칭이동기출 2공략 C022 지수함수 로그함수와 직선의 교점기출 2공략