C022지수함수 로그함수와 직선의 교점

교재 5문항 · 논술 기출 2문항

핵심

교점은 방정식의 해다. $y=k$ 와 $y=\log_ax$ 의 교점은 $x=a^k$ 이고, $y=x$ 와 얽히면 역함수 대칭이 숨어 있다. 교점의 좌표를 지수꼴로 적는 순간 길이의 비가 지수의 비로 바뀐다.

해법

1교점의 $x$ 좌표를 $a^k$ 꼴로 적는다.
2길이나 넓이 조건을 그 좌표들의 식으로 옮긴다.
3비례식을 세워 밑에 대한 방정식으로 만든다.
4밑 조건( $>0$ , $\ne1$ )과 대소 조건으로 답을 고른다.

공략

· 직선 $y=k$ 가 $y=\log_2x$ , $y=\log_ax$ , $y=\log_bx$ 와 만나는 세 점의 $x$ 좌표는 $2^k$ , $a^k$ , $b^k$ 다. 선분의 길이는 그 차이고, 비례식 하나면 미지수가 풀린다.
· $y=x$ 위의 점에서 수직·수평으로 그은 선이 곡선과 만나는 구성은 역함수 대칭을 쓰라는 신호다.
· $y=2^x$ 와 $y=\left(\dfrac14\right)^x$ 처럼 밑이 서로 거듭제곱 관계면 두 교점의 $x$ 좌표가 $-\dfrac12$ 배로 묶인다. 밑을 통일해 보는 것이 첫 수다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	5	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/99문항	9%/58문항	0%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 상명대 1번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

1이 아닌 두 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a:b=2:1$ 이고, 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 함수 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 A, B, C라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BC}}=1:8$ 을 만족시킬 때,(1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}$ 의 값을 구하시오.(2) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이를 구하시오.(3) 점 C의 좌표를 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}=$ ______ (5.2점) (2) 길이 $\displaystyle =$ ______ (2.7점) (3) 좌표 $\displaystyle =$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

교재와 닮은 점 · 교재 23번은 직선 y=2와 세 곡선 y=log_2 x, log_a x, log_b x의 교점 A,B,C에서 AB:BC=2:3으로 a,b를, 논술은 직선 y=3과 같은 세 곡선의 교점에서 AC:BC=1:8로 a,b를 구한다. 교점의 x좌표를 2^3, a^3, b^3으로 적고 길이비를 세우는 풀이가 같다.

다른 점 · 직선의 높이와 비의 값, a:b 비만 바뀌었고 논술은 답을 자연수로 제한해 경우를 배제한다.

2026 서경대 7번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

두 실수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 $\displaystyle 2<a<b$ 이고 $\displaystyle a:b=2:3$ 이다. 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 곡선 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle A,\ B,\ C$ 라 하자. $\displaystyle \overline{AB}:\overline{BC}=1:5$ 일 때, $\displaystyle b^3-a^3=\dfrac{q}{p}$ 이다 (단, $\displaystyle p,\ q$ 는 서로소인 자연수이다).다음에 답하시오. (10점)① 점 $\displaystyle A$ 의 좌표 = __________ (답만 쓰시오. 2.5점).② $\displaystyle p+q$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 7.5점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 23번은 2<a<b, a:b=3:4 에서 직선 y=2와 세 로그곡선의 교점 A,B,C에 대해 AB:BC=2:3 일 때 a²+b²=q/p 의 p+q를 묻는다. 논술은 비를 2:3, 직선을 y=3, 길이비를 1:5 로 바꾼 같은 문항이다.

다른 점 · 구하는 대상이 a²+b² 대신 b³-a³ 이고 점 A의 좌표를 따로 묻는 정도.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 1번

두 함수 $\displaystyle{y=2^{x}, y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}}$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle{y=k}$ 가 만나는 모든 점의 $\displaystyle{x}$ 좌표를 원소로 갖는 집합 $\displaystyle{X}$ 에 대하여 $\displaystyle{X=\left\{a, a^{2}\right\}}$ 이 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle{k}$ 의 값의 곱은? (단, $\displaystyle{a \neq 0}$ )

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 5번

그림과 같이 직선 $\displaystyle{y=x}$ 위의 점 $\displaystyle{\mathrm{A}(\alpha, \alpha)}$ 를 지나고 $\displaystyle{x}$ 축에 수직인 직선이 곡선 $\displaystyle{y=\log _{4} x}$ 와 만나는 점을 P 라 하고, 점 A 를 지나고 $\displaystyle{y}$ 축에 수직인 직선이 곡선 $\displaystyle{y=2^{x}}$ 과 만나는 점을 Q라 하자. $\displaystyle{|\overline{\mathrm{AQ}}-\overline{\mathrm{AP}}|}$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 최소의 정수 $\displaystyle{\alpha}$ 에 대하여 삼각형 $AQP$ 의 넓이는? (단, $\displaystyle{\alpha>1}$ )

$\displaystyle{\\}$

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 15번

직선 $\displaystyle{x=k}$ 와 함수 $\displaystyle{y=\log _{3}(x+a)+1}$ 의 그래프가 만나지 않도록 하는 자연수 $\displaystyle{k}$ 의 개수가 $\displaystyle{5}$ 일 때, 정수 $\displaystyle{a}$ 의 값은? $\displaystyle{\\}$

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

$\displaystyle{{}2<a<b}$ 이고 $\displaystyle{a: b=3: 4}$ 인 두 실수 $\displaystyle{a, b}$ 에 대하여 직선 $\displaystyle{y=2}$ 와 세 곡선 $\displaystyle{y=\log _{2} x, y=\log _{a} x, y=\log _{b} x}$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle{\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}}$ 라 하자. $\displaystyle{\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BC}}=2: 3}$ 일 때, $\displaystyle{a^{2}+b^{2}=\frac{q}{p}}$ 이다. $\displaystyle{p+q}$ 의 값을 구하시오. $\displaystyle{\\}$ (단, $\displaystyle{p}$ 와 $\displaystyle{q}$ 는 서로소인 자연수이다.)

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