C005거듭제곱근이 자연수가 되는 미지수 구하기

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \sqrt[n]{(2^k)^7}$ 의 값이 8의 배수가 되도록 하는 2 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 의 개수를 $\displaystyle f(k)$ 라 하자. $\displaystyle <$ 보기 $\displaystyle >$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고르는 과정을 서술하시오. (10점)< 보기 >ㄱ. $\displaystyle f(7)=2$ ㄴ. $\displaystyle f(k)=2$ 를 만족시키는 5 이하의 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수는 2이다.ㄷ. $\displaystyle f(k)=5$ 를 만족시키는 10 이하의 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 값의 합은 24이다.

교재와 닮은 점 · 수능완성은 ⁿ√((2^k)^5)이 자연수가 되는 n(≥2)의 개수를 f(k)라 두고 f(k)=3인 k의 합을 묻는다. 논술은 지수만 7로 바꾸고 같은 f(k) 정의를 쓴다(7k/n이 자연수).

다른 점 · 논술은 '자연수' 대신 '8의 배수'(즉 7k/n≥3) 조건을 얹고 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 판정형으로 바꿨다.

좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle (0,\,0)$ , $\displaystyle \left(\sqrt[3]{4},\ \sqrt[6]{2}\right)$ 를 지나는 직선이 직선 $\displaystyle ax+2y=1$ 과 서로 수직일 때, $\displaystyle a^2$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 세제곱근·여섯제곱근을 유리수 지수로 고쳐 2의 거듭제곱으로 계산한다. 등장하는 수 ∛4와 ⁶√2도 같다.

다른 점 · 교재는 그 값이 어떤 자연수의 n제곱근이 되는 조건을 묻고, 논술은 그 값을 두 점을 지나는 직선의 기울기로 써서 수직 조건에 넣는다.

양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 에 대하여 $\displaystyle a^2=5$ , $\displaystyle b^4=7$ , $\displaystyle c^9=13$ 일 때, $\displaystyle (abc)^n$ 이 자연수가 되도록 하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오. (4점)

교재와 닮은 점 · 교재 7번은 (2^k)^5의 n제곱근이 자연수가 되는 n을 따지고, 논술은 a=5^(1/2), b=7^(1/4), c=13^(1/9)에서 (abc)^n이 자연수가 되는 n을 찾는다. 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꿔 지수가 정수가 될 조건을 보는 개념이 같다.

다른 점 · 논술은 서로 다른 세 밑이라 2,4,9의 최소공배수를 구하는 형태이고, 교재는 개수를 센다.