🌱 2026학년도 가천대 자연 논술 기출 (2세트)

$\displaystyle a>0$ , $\displaystyle b>0$ 이고, 함수 $\displaystyle f(x)=a\sin\dfrac{x}{3b}+c$ 의 주기가 $\displaystyle 6\pi$ , 최솟값이 $\displaystyle -2$ 이다. $\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$ 일 때, $\displaystyle a\times b\times c$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 상수이다.) (10점)

일차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 이차함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=a(x+1),\qquad g(x)=b(x+c)^2$ 일 때, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3$

(나) $\displaystyle f(x)-g'(x)=1$ 두 함수 $\displaystyle y=\log_2 f(x)$ , $\displaystyle y=\log_2\sqrt{g(x)}$ 의 그래프가 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 상수이다.) (10점)

첫째항이 $\displaystyle \sqrt{3}$ 인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \log_3\dfrac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8}=9$ 일 때, $\displaystyle a_m=\dfrac{1}{3^9}$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle m$ 과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

그림과 같이 직선 $\displaystyle y=x$ 가 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ 와 만나는 점 중 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ 라 하고 점 $\displaystyle \mathrm{B}\left(t,\ \sqrt{t}\right)$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 넓이를 $\displaystyle T(t)$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=t$ , $\displaystyle x=1$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle S(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{t\to 1-}\dfrac{S(t)}{T(t)}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle 0<t<1$ )

사차함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac{5}{16}x^4-\dfrac{5}{2}x^2+4$ 가 있다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle |f(x)|=t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{t\to 1+}g(t)+\lim\limits_{t\to 1-}g(t)+g(1)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f(-1)$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle f(x)$ 의 계수는 모두 정수이다.) (10점)

(가) $\displaystyle x\ge 1$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle x^2<f\left(\dfrac{x-1}{6}\right)$ 을 만족시킨다.

(나) $\displaystyle x\ge 2$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f\left(\dfrac{x-2}{6}\right)<x^2$ 을 만족시킨다.

(다) 함수 $\displaystyle \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 는 $\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}$ 에서 극값을 갖는다.

상수 $\displaystyle a\ (a>0)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3 & (x<0)\\ ax(x-2) & (x\ge 0)\end{cases}$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)=f(t)$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 하고, 점 $\displaystyle (0,\ -9)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 그은 접선의 방정식을 $\displaystyle y=h(x)$ 라 하자. $\displaystyle \left|\lim\limits_{t\to k+}g(t)-\lim\limits_{t\to k-}g(t)\right|=2$ 를 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 합이 $\displaystyle 1$ 일 때,곡선 $\displaystyle y=ax(x-2)$ 와 $\displaystyle y$ 축 및 직선 $\displaystyle y=h(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

$\displaystyle 0\le x\le\dfrac{4}{3}\pi$ 일 때, 방정식 $\displaystyle \cos^2\left(x+\frac{5}{6}\pi\right)-a\cos\left(x+\frac{4}{3}\pi\right)+a\sin\left(x+\frac{5}{6}\pi\right)-2a-4=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 정수 $\displaystyle a$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,\ f(2))$ 에서의 접선의 방정식이 $\displaystyle y=-4x+24$ 이다.

(나) $\displaystyle f(0)=14$ 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)