C017로그의 밑의 변환

연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}2^{a+1}+3^{b+2}=113\\[2pt] 2^{a+2}+3^{b+1}=91\end{cases}$ 의 해 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 에 대하여, $\displaystyle \log_a\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\log_b\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=\log_b\dfrac{m}{n}$ 을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 서로소인 자연수)(1) $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle n\sqrt{m}$ 의 값을 구하시오.(1) $\displaystyle a+b=$ __________ (4.7점)(2) $\displaystyle n\sqrt{m}=$ __________ (5.3점)

교재와 닮은 점 · 밑이 다른 로그를 밑변환과 로그의 성질로 하나로 묶어 계산하는 개념이 같다. 논술 (2)의 log_4(9/2)^2+log_2(9/4)를 log_2로 통일하는 과정이 교재의 계산 구조와 같다.

다른 점 · 논술은 앞에 2^a, 3^b 치환 지수연립방정식으로 a,b를 먼저 구하는 단계가 있다.

1이 아닌 두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ $\displaystyle (a\neq b)$ 가 $\displaystyle \log_a \frac{1}{b}=\left(\log_{\frac{1}{b}} a\right)\times\left(\log_a \frac{b^3}{a^2}\right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \log_b a+\log_{\frac{1}{a}} b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 '1이 아닌 두 양수 a,b(a≠b)'에 대한 로그 비례식에서 log_a b+log_b(1/a)를 묻는다. 논술도 같은 단서로 로그 등식을 주고 log_b a+log_{1/a}b 를 묻는다. 둘 다 t=log_a b 치환 → 이차방정식 → a≠b로 근 선택의 절차가 같다.

다른 점 · 주어진 등식이 비례식에서 곱셈식으로 바뀐 정도.

$\displaystyle 1$ 이 아닌 서로 다른 두 양수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 $\displaystyle 2\log_a b:\log_a b+1=1:\log_a b$ 일 때, $\displaystyle \log_a b+\log_b a$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 로그가 든 비례식을 내항·외항의 곱으로 풀어 log_a b에 대한 이차방정식을 만들고, a와 b가 다르다는 조건으로 근을 하나 버린 뒤 log_b a=1/log_a b로 답을 계산한다.

다른 점 · 비례식의 형태와 마지막에 더하는 항(log_b a 대 log_b (1/a))만 다르다.