🌱 2026학년도 가천대 자연 논술 기출 (3세트)

$\displaystyle 0 \le x < \frac{\pi}{2}$ 일 때, 방정식 $\displaystyle 3\cos^2 x-\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$ 의 실근을 구하는 과정을 서술하시오.

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\displaystyle S_1=3$ 이고 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle S_{n+1}=3S_n+2$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \log_3\frac{8}{a_6}$ 의 값과 $\displaystyle S_7$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $\displaystyle f(x)=x^2-3x+k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=\dfrac{3x+1}{2\{f(x)\}^2-2xf(x)+5f(x)}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

실수 $\displaystyle t\ (0\le t\le 3)$ 에 대하여 점 $\displaystyle \left(t,\ \sqrt{27-t^3}\right)$ 과 원점 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle f(t)$ 라 하자. 닫힌구간 $\displaystyle [0,\ 3]$ 에서 함수 $\displaystyle f(t)$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$ , $\displaystyle m$ 이라 할 때, $\displaystyle M\times m$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

$\displaystyle -\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}$ 에서 기울기가 양수이고 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{4},\ 0\right)$ 을 지나는 직선과 함수 $\displaystyle y=\tan 2\pi x$ 의 그래프가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b\ (a<b)$ 라 하자. $\displaystyle a+2b=\frac{7}{6}$ 일 때, $\displaystyle \sin(2a+b)\pi$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f'(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점) $\displaystyle 0$ 이 아닌 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{3f'(x)-f'(0)}{4}+\frac{23}{4}x^2-4 \ \le\ \frac{f(3x)-f(0)}{3x} \ \le\ \frac{1}{2}x^4+5x^2$ 이다.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_{-2}^{2}|f(x)|\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

(가) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{xf'(x)}=\frac{1}{3}$

(나) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\left\{\left(x^2+\frac{1}{x}\right)f(x)\right\}$ 이 존재한다.

(다) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to -1}\left\{\left(x^2+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{f(x)}\right\}=3$

점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표를 $\displaystyle (-2,\ 0)$ 이라 하고, 함수 $\displaystyle f(x)=\log_2(x+2)$ 의 그래프가 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. $\displaystyle 2$ 이상인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2^n$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PBO}$ , $\displaystyle \mathrm{PBA}$ 의 넓이의 차를 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle S_n>2026$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.)

실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=(x-2)(x-a)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하자. $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle F(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 일 때, $\displaystyle F(0)$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle 2<a\le 6$ )