⚙️ 2026학년도 한국공학대 논술 기출 (오전)

$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2\pi$ 인 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{2}{3}$ 일 때, $\displaystyle \sin\theta\times\tan\theta$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

$\displaystyle 0\le x\le \pi$ 일 때, 방정식 $\displaystyle 2\cos^2 x-\sin x-1=0$ 의 모든 실근의 곱을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=-\log_3 x+a$ 가 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{1}{27},\ 9\right]$ 에서 최댓값 $\displaystyle 6$ , 최솟값 $\displaystyle b$ 를 가질 때, 두 상수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 과 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=3x^2-6x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^2 |f(x)|\,dx=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=-x^2+2ax\ (a>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2x$ 에 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이를 $\displaystyle S(a)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{a\to 1+}\frac{S(a)}{a-1}$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 집합 $\displaystyle \left\{\,x\ \middle|\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4\,\right\}$ 의 원소가 $\displaystyle -2$ 와 $\displaystyle 3$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ f(t))$ 에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle g(4)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\frac{5}{3}x-2$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=|x|$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{5}{2}t^3+6t^2+kt$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 시각 $\displaystyle t=2$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도는 $\displaystyle 0$ 보다 작다.

(나) 시각 $\displaystyle t=p$ 와 $\displaystyle t=q\ (0<p<q)$ 일 때만 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도가 $\displaystyle \frac{5}{2}$ 이다.시각 $\displaystyle t=q$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ , $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (15점)