🏫 2026학년도 상명대 자연A 논술 기출

연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}2^{a+1}+3^{b+2}=113\\[2pt] 2^{a+2}+3^{b+1}=91\end{cases}$ 의 해 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 에 대하여, $\displaystyle \log_a\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\log_b\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=\log_b\dfrac{m}{n}$ 을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 서로소인 자연수)

(1) $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle n\sqrt{m}$ 의 값을 구하시오.

(1) $\displaystyle a+b=$ __________ (4.7점)

(2) $\displaystyle n\sqrt{m}=$ __________ (5.3점)

$\displaystyle 0<x<\pi$ 에서 방정식 $\displaystyle \dfrac{1}{2-2\cos x}-\dfrac{1}{2+2\cos x}=\dfrac{2}{3}$ 의 해를 $\displaystyle \alpha$ 라 하자. 외접원의 반지름 길이가 $\displaystyle \sqrt{15}$ 인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 $\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{2}\cos\alpha$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle \sin A$ 의 값을 구하시오.

(3) 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 의 길이를 구하시오.

(1) $\displaystyle \alpha=$ __________ (4.5점)

(2) $\displaystyle \sin A=$ __________ (2.5점)

(3) 길이 $\displaystyle =$ __________ (3.0점)

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \sin^2 A=\sin^2 B+2\sin^2 C$

(나) $\displaystyle \sin B=2\sin C$ 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt{6}$ 이고, 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 와 변 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AEF}$ 의 넓이가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 넓이의 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ 이다.선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}$ 의 길이를 $\displaystyle p$ , 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}$ 의 길이를 $\displaystyle q$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) $\displaystyle \cos A$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle pq$ 의 값을 구하시오.

(3) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 의 길이의 최솟값을 구하시오.

(1) $\displaystyle \cos A=$ __________ (4.7점)

(2) $\displaystyle pq=$ __________ (2.3점)

(3) 최솟값 $\displaystyle =$ __________ (3.0점)

모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n<a_{n+1}$ 이고, 첫째항 $\displaystyle a_1$ 과 공비의 곱이 1인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 을 $\displaystyle b_n=a_{3n-1}$ 이라 하자. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle A_n$ , 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 의 첫째항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle B_n$ 이라 할 때, $\displaystyle 2A_9=7B_3$ 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 공비를 구하시오.

(2) $\displaystyle \dfrac{b_n}{a_n}>1024$ 를 만족시키는 가장 작은 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.

(3) $\displaystyle \log_{b_3}a_5$ 의 값을 구하시오.

(1) 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 공비를 구하는 과정을 서술하시오. (5.1점)

(2) $\displaystyle n=$ __________ (3.0점)

(3) $\displaystyle \log_{b_3}a_5=$ __________ (1.9점)

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 아래의 조건을 만족시킬 때,

(가) 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}\neq a_n$ 이다.

(나) $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_n^{\,2}+(n+1)a_n$ 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항 $\displaystyle a_1$ 을 구하시오.

(2) $\displaystyle \left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\right|>900$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.

(1) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항 $\displaystyle a_1$ 을 구하는 과정을 서술하시오. (3.9점)

(2) $\displaystyle n=$ __________ (6.1점)

두 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle g(x)=x^2+\int_0^1 (2x+t)f(t)\,dt,\qquad \int_1^x f(t)\,dt=xg(x)+2x+2$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.

(3) 직선 $\displaystyle y=2$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)-g(x)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

(1) $\displaystyle g(x)=$ __________ (3.6점)

(2) $\displaystyle f(x)=$ __________ (3.7점)

(3) 넓이 $\displaystyle =$ __________ (2.7점)

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\left|(x+a)(x^2-3x)\right| & (x\ge 0)\\[3pt] \left|(x+b)(x^2+3x)\right| & (x<0)\end{cases}$ 라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=0$ 에서만 미분 가능하지 않을 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 는 상수)

(2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=n$ 과의 교점의 개수를 $\displaystyle g(n)$ 이라 할 때, $\displaystyle g(0)+g(2)+g(4)+g(6)$ 의 값을 구하시오.

(1) $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (7.0점)

(2) $\displaystyle g(0)+g(2)+g(4)+g(6)=$ __________ (3.0점)

최고차항의 계수가 1인 사차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f(x)$ 의 도함수 $\displaystyle y=f'(x)$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle x=-1$ 에서 만나고, $\displaystyle x=\alpha\ (\alpha>0)$ 에서 접한다.

(나) $\displaystyle f(\alpha)=0$ 이고, $\displaystyle f(0)=-16$ 이다.구간 $\displaystyle -1\le x\le t\ (t\ge -1)$ 에서 $\displaystyle f'(x)$ 의 최댓값을 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)

(1) 위의 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ 의 값을 구하시오.

(3) $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}g(t)\,dt$ 의 값을 구하시오.

(1) $\displaystyle \alpha=$ __________ (4.3점)

(2) $\displaystyle g\left(\dfrac{3}{2}\right)=$ __________ (2.8점)

(3) $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}g(t)\,dt=$ __________ (2.9점)