🛠️ 2025학년도 한기대 수리논술 기출 (오전)

양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 에 대하여 $\displaystyle a^2=5$ , $\displaystyle b^4=7$ , $\displaystyle c^9=13$ 일 때, $\displaystyle (abc)^n$ 이 자연수가 되도록 하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오. (4점)

양수 $\displaystyle a$ 에 대하여 두 직선 $\displaystyle y=(\log_3 2)x$ 와 $\displaystyle y=(\log_4 a)x$ 가 서로 수직이 되도록 하는 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (4점)

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} ax+b & (x<2)\\[2pt] x^3 & (x\ge 2)\end{cases}$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle a-b$ 의 값을 구하시오. (8점)

함수 $\displaystyle f(x)=4+a\tan\left(\frac{3}{2}x\right)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle \left[b,\ \frac{2\pi}{9}\right]$ 에서 최댓값 $\displaystyle 7$ , 최솟값 $\displaystyle 1$ 을 가질 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 각각 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이고, $\displaystyle a>0$ 이다.) (8점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=-12$

(나) 함수 $\displaystyle y=f'(x)$ 의 그래프는 점 $\displaystyle (2,\ 0)$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 접한다. $\displaystyle f(2)$ 의 값을 구하시오. (8점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x \left(2t^4+at^2+bt\right)dt=\int_0^x \left(2t+f(t)\right)dt+x^3+a$ 를 만족시킨다. $\displaystyle f(1)=-2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (12점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 $\displaystyle \{-2,\ -1,\ 1\}$ 의 모든 원소 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\dfrac{xf(x)-a}{x-a}$ 의 값이 존재한다.

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-1}=25$ $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하시오. (12점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \left(f(x)\right)^3-3\left(f(x)\right)^2-4x^2f(x)+12x^2=0$ 을 만족시킨다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값이 $\displaystyle 3$ 이고 최솟값이 $\displaystyle 0$ 일 때, $\displaystyle f(-1)+f(0)+f\left(\frac{11}{4}\right)$ 의 값을 구하시오. (12점)

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{5}{a_n} & (a_n \text{이 정수인 경우})\\[6pt] 2a_n-1 & (a_n \text{이 정수가 아닌 경우})\end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle a_6=2$ 일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle 2\sum\limits_{k=6}^{27} a_k$ 의 값을 구하시오. (6점)

(2) $\displaystyle a_1+a_2$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점) (16점)

실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^2+6x+k & (x<0)\\[2pt] x^2-4x+k & (x\ge 0)\end{cases}$ 이라 하자. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=|f(x)|$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=t$ 의 교점의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle k=2$ 일 때, $\displaystyle g(1)$ 의 값을 구하시오. (6점)

(2) $\displaystyle 0<k<2$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(t)$ 가 $\displaystyle t=a$ 에서 불연속인 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값의 합을 구하시오. (10점) (16점)