🌱 2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (1세트)

$\displaystyle 0 \le \theta < 2\pi$ 에 대하여 $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{1}{\sqrt{6}}$ 이고 $\displaystyle \cos\theta<0$ 일 때, $\displaystyle \tan^2(\pi+\theta)+\sqrt{5}\,\tan\theta+3\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3}x^{-4} & (0<x\le 2)\\[4pt] \log_3 x & (x>2)\end{cases}$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{3} f\big(f(f(n))\big)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x t\,f(t)\,dt=f(x)+ax^3+x^2+x-2$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \sqrt[n]{(2^k)^7}$ 의 값이 8의 배수가 되도록 하는 2 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 의 개수를 $\displaystyle f(k)$ 라 하자. $\displaystyle <$ 보기 $\displaystyle >$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고르는 과정을 서술하시오. (10점)< 보기 >ㄱ. $\displaystyle f(7)=2$ ㄴ. $\displaystyle f(k)=2$ 를 만족시키는 5 이하의 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수는 2이다.ㄷ. $\displaystyle f(k)=5$ 를 만족시키는 10 이하의 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 값의 합은 24이다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{9x^2-1}=\dfrac{1}{3}$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{9x^2-1}{f(x)}=\dfrac{1}{4}$ $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)}=b$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta\ (\alpha<\beta)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f'(\alpha)=f'(\beta)=0$

(나) $\displaystyle f(\alpha)f(\beta)<0$

(다) $\displaystyle |f(\beta)|=2|f(\alpha)|$ 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid |f(x)|-|f(t)|=0\right\}$ 의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle t$ 의 개수가 $\displaystyle m$ 이고, 이러한 $\displaystyle m$ 개의 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 작은 수부터 차례로 $\displaystyle t_1,\ t_2,\ t_3,\ \cdots,\ t_m$ 이라 하자. $\displaystyle \dfrac{1}{|f(\alpha)|}\sum\limits_{i=1}^{m} f(t_i)$ 의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle 0\le x<1$ 일 때, $\displaystyle f(x)=a\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}$ 이다.

(나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+1)=f(x)+1$ 을 만족시킨다.자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle p_n=\int_{n-1}^{n} f(x)\,dx$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle g(x)=\sum\limits_{n=1}^{100}(x-p_n)^2$ 은 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 최솟값을 갖는다. $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle \alpha$ 는 상수이다.) (10점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(-2)}{x-2}=1$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x+2)}{f(x-2)}=3$

① $\displaystyle f(2)\neq 0$ 일 때, 위 조건을 만족시키는 함수가 존재하는지 서술하시오.

② $\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle n$ 의 값의 합을 $\displaystyle m$ 이라 하자.함수 $\displaystyle f(x)=\sin\frac{\pi}{n}x$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+30)=f(x)$ 를 만족시킨다.그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 예각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 세 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{BC}$ , $\displaystyle \mathrm{CA}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{D}$ , $\displaystyle \mathrm{E}$ , $\displaystyle \mathrm{F}$ 라 하자. $\displaystyle 5\sin^2 A=4\sin^2 C$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm{OE}}:\overline{\mathrm{OF}}=12:m:6(3\sqrt{5}-1)$ 일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{OE}$ 의 길이와 $\displaystyle \sin^2 B$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.