C112사인법칙 : 외접원과의 관계

$\displaystyle 0<x<\pi$ 에서 방정식 $\displaystyle \dfrac{1}{2-2\cos x}-\dfrac{1}{2+2\cos x}=\dfrac{2}{3}$ 의 해를 $\displaystyle \alpha$ 라 하자. 외접원의 반지름 길이가 $\displaystyle \sqrt{15}$ 인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 $\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{2}\cos\alpha$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle \sin A$ 의 값을 구하시오.(3) 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 의 길이를 구하시오.(1) $\displaystyle \alpha=$ __________ (4.5점)(2) $\displaystyle \sin A=$ __________ (2.5점)(3) 길이 $\displaystyle =$ __________ (3.0점)

교재와 닮은 점 · 교재는 외접원의 넓이가 6π인 삼각형에서 cosA=√3/3으로 BC를 구하고, 논술도 외접원 반지름 √15와 cosA로 sinA를 거쳐 BC=2RsinA를 구한다. 사인법칙과 삼각함수 사이의 관계를 쓰는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 cosA를 바로 주지 않고 분수식 삼각방정식을 풀어 α=π/3을 먼저 구하게 한다.

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}_n(n,\ n+1)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(0,\ 1)$ , $\displaystyle \mathrm{O}(0,\ 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_n\mathrm{B}$ 의 외접원의 넓이를 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. (13점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 사인법칙 a/sin A=2R로 삼각형의 외접원 반지름을 구해 넓이 πR²를 계산한다. 논술은 세 점 O, B, A_n으로 만든 삼각형에서 ∠OBA_n=3π/4를 잡아 a_n을 n의 식으로 얻은 뒤 수열의 합으로 잇는 점이 다르다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CA}}=42$ (나) $\displaystyle \cos C=\dfrac{27}{28}$ (다) $\displaystyle \sin A+\sin B=\dfrac{13\sqrt{55}}{56}$ 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, $\displaystyle \sqrt{\dfrac{495S}{\pi}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 삼각형에서 sinA+sinB 값이 주어질 때 BC×CA/R²을 구한다. 논술은 BC×CA=42, sinA+sinB=13√55/56 에서 R(외접원 넓이)을 구한다. 사인법칙으로 변을 2RsinA로 바꿔 (sinA+sinB)²을 쓰는 계산이 같다.

다른 점 · 논술은 cosC 조건까지 넣어 코사인법칙과 연립해야 한다.

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle n$ 의 값의 합을 $\displaystyle m$ 이라 하자.함수 $\displaystyle f(x)=\sin\frac{\pi}{n}x$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+30)=f(x)$ 를 만족시킨다.그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 예각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 세 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{BC}$ , $\displaystyle \mathrm{CA}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{D}$ , $\displaystyle \mathrm{E}$ , $\displaystyle \mathrm{F}$ 라 하자. $\displaystyle 5\sin^2 A=4\sin^2 C$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm{OE}}:\overline{\mathrm{OF}}=12:m:6(3\sqrt{5}-1)$ 일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{OE}$ 의 길이와 $\displaystyle \sin^2 B$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항은 반지름 3인 원에 내접하는 예각삼각형에서 O로부터 세 변에 내린 수선의 발 D,E,F에 대해 OD:OE:OF=1:2:1 일 때 sin²A를 구한다. 논술은 반지름 4, 비 12:m:6(3√5-1)로 바꾼 동일 도형이다.

다른 점 · 논술은 f(x)=sin(π/n)x의 주기 조건으로 m=24를 먼저 구하게 하고 5sin²A=4sin²C 조건을 추가했다.

$\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 인 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 $\displaystyle \sin A=\cos B,\qquad \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{3}$ 이다. 다음은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이를 구하는 과정이다. (1) ~ (4)에 알맞은 수를 구하시오. (10점)삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 $\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$ …… ㉠ $\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 이고 $\displaystyle \sin A=\cos B$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}+\angle \mathrm{B}$ …… ㉡삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $\displaystyle \pi$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=\pi$ …… ㉢㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $\displaystyle \angle \mathrm{A}=$ (1) , $\displaystyle \angle \mathrm{B}=$ (2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 이라 하면 $\displaystyle R=$ (3) 이므로외접원의 넓이는 (4) 이다.

교재와 닮은 점 · 둘 다 한 변의 길이와 그 대각의 사인값을 확보한 뒤 사인법칙 2R=a/sin A로 외접원의 반지름을 구하고 넓이 piR^2를 계산한다.

다른 점 · 논술은 sin A=cos B와 이등변 조건에서 A=2pi/3, B=pi/6을 먼저 정하는 단계가 앞에 붙는다.