C124삼각형의 넓이3년 연속

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=8$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 선분 AB, BC, CA를 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점을 각각 P, Q, R이라 하자.삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 삼각형 PQR의 넓이를 $\displaystyle S_2$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle m>1$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}=\theta$ )(1) 삼각형 PBQ의 넓이를 $\displaystyle m$ 에 관한 식으로 나타내시오.(2) 두 삼각형 QCR과 RAP의 넓이가 같음을 보이시오.(3) $\displaystyle S_2=\dfrac{1}{2}S_1$ 을 만족시키는 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.

교재와 닮은 점 · 교재는 AB=3, BC=4, ∠B=π/2인 직각삼각형에서 AB와 CA를 1:m으로 내분한 P,Q로 삼각형 APQ의 넓이를 구하고, 논술은 AB=8, BC=6인 직각삼각형에서 세 변을 1:m으로 내분한 P,Q,R로 넓이를 다룬다. 내분비로 변의 길이를 쓰고 사인을 이용한 넓이 공식을 쓰는 틀이 같다.

다른 점 · 논술은 세 모퉁이 삼각형을 모두 만들어 S_2=S_1/2가 되는 m을 구하는 서술형으로 확장했다.

평행사변형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 에 대각선 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 를 그려 두 개의 삼각형으로 나누었다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 각 변의 길이를 아래의 그림과 같이 각각 $\displaystyle m$ 배 확대하여 새로운 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 을 만들었다.(단, $\displaystyle m>1$ 이고, $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}=\alpha$ , $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\beta$ , $\displaystyle \angle\mathrm{BCA}=\gamma$ )(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, 세 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAR}$ , $\displaystyle \mathrm{QBP}$ , $\displaystyle \mathrm{RCQ}$ 의 넓이를 각각 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle S$ 에 대한 식으로 나타내시오.(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 의 넓이가 평행사변형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 넓이와 같게 하는 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 두 변과 낀 각의 사인으로 삼각형의 넓이를 나타내는 같은 공식을 반복해서 쓴다. 논술은 세 모퉁이 삼각형 PAR, QBP, RCQ의 넓이를 m(m-1)S로 표현한다.

다른 점 · 논술은 변을 m배 외분해 확대한 삼각형과 평행사변형의 넓이를 같게 하는 m을 구하는 일반화된 서술형이다.