C051삼각방정식의 실근의 개수

교재 4문항 · 논술 기출 3문항

핵심

각변환으로 $\sin$ · $\cos$ 를 **하나로 통일**한 뒤 $t=\cos x$ (또는 $\sin x$ )로 치환하면 $t$ 에 대한 이차방정식이 된다. 실근 개수는 **근의 분포**로 따진다.

해법

1 $\sin^2=1-\cos^2$ 등으로 한 종류로 통일한다.
2 $t=\cos x$ 로 치환한다. 이때 ** $-1\le t\le1$ ** 이 반드시 따라붙는다.
3 $t$ 의 이차방정식이 그 범위에서 몇 개의 근을 갖는지 본다.
4 $t$ 하나가 $x$ 몇 개를 주는지 되돌린다 — $t=\pm1$ 이면 1개, 그 사이면 2개.

공략

· ** $t$ 의 개수와 $x$ 의 개수는 다르다.** 이 환산에서 대부분이 틀린다. $t=1$ 은 $x=0$ 하나뿐이지만 $t=0.5$ 는 한 주기에 두 개다.
· $-1\le t\le1$ 을 빠뜨리면 범위 밖 근을 세어 답이 커진다. 답안에 이 조건을 명시할 것.
· **C107(실근을 가질 조건)과 사실상 같은 유형**이다 — 개수를 묻느냐 조건을 묻느냐만 다르다. 두 페이지를 함께 볼 것.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	4	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/90문항	6%/72문항	0%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 3문항

2026 가천대 7번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 03.삼각함수 40제 40번

방정식 $\displaystyle 5\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a=1$ 이 실근을 가지도록 하는 실수 $\displaystyle a$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수특 40번과 마찬가지로 π/2-x, π+x 각변환으로 sin·cos를 하나로 통일한 뒤 cos x=t로 치환해 t에 대한 이차식과 a의 관계로 바꾸는 절차가 같다.

다른 점 · 수특은 실근의 개수가 2인 정수 a의 개수를 묻지만, 논술은 실근이 존재할 조건에서 a의 최댓값·최솟값을 서술하게 했다.

2026 가천대 14번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 03.삼각함수 40제 40번

$\displaystyle 0\le x\le\dfrac{4}{3}\pi$ 일 때, 방정식 $\displaystyle \cos^2\left(x+\frac{5}{6}\pi\right)-a\cos\left(x+\frac{4}{3}\pi\right)+a\sin\left(x+\frac{5}{6}\pi\right)-2a-4=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 정수 $\displaystyle a$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 각변환으로 sin^2을 cos에 대한 식으로 바꾼 뒤 cos=t로 치환해 이차방정식의 근의 분포로 실근 개수가 2가 되는 정수 a를 찾는 과정이 사실상 같다.

다른 점 · 구간이 0≤x≤π에서 0≤x≤4π/3로, 각의 평행이동이 x+π/3만큼 들어간 정도의 설정 차이다.

2026 한국기술교육대 5번8점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 03.삼각함수 40제 13번

정의역이 $\displaystyle \{x \mid x \ge 0\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2(\sin\theta)x+\cos^2\theta-\sin\theta+1$ 의 최솟값이 $\displaystyle 1$ 일 때, 이를 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle \theta$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 \le \theta < 2\pi$ ) (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 5x^2-(4sinθ)x+cosθ+1=0이 중근을 갖는 모든 θ의 합, 논술은 x^2-2(sinθ)x+cos^2θ-sinθ+1의 최솟값이 1인 모든 θ의 합이다. 삼각함수를 포함한 이차식 조건을 sin·cos의 이차방정식으로 바꿔 θ를 모두 더하는 흐름이 같다.

다른 점 · 논술은 정의역이 x≥0으로 제한돼 꼭짓점이 구간 밖인 경우를 따로 나누는 단계가 추가된다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 13번

$\displaystyle 0\lt \theta \lt 2\pi$ 일 때, $\displaystyle x$ 에 대한 이차방정식
$\displaystyle 5x^{2} -(4 \sin \theta )x+ \cos \theta +1=0$
이 중근을 갖도록 하는 모든 $\displaystyle \theta$ 의 값의 합은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 32번

점 $\displaystyle (0,~2)$ 를 지나고 기울기가 $\displaystyle - \dfrac {3} {5\pi }$ 보다 작은 직선 $\displaystyle l$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x \le 2\pi$ 에서 직선 $\displaystyle l$ 과 함수 $\displaystyle y=-~|~ \tan 3x ~|~ +1$ 의 그래프가 만나는 점의 개수의 최솟값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 38번

$\displaystyle 10$ 이하의 두 자연수 $\displaystyle a,$ $\displaystyle b$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=a \sin x+b (0\le x \le 2\pi )$ 의 그래프가 두 직선 $\displaystyle y=2,$ $\displaystyle y=5$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 $\displaystyle m,$ $\displaystyle n$ 이라 할 때, $\displaystyle m+n$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $\displaystyle a,$ $\displaystyle b$ 의 모든 순서쌍 $\displaystyle (a,~b)$ 의 개수는?

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 40번

$\displaystyle 0\le x \le \pi$ 일 때, 방정식
$\displaystyle 2 \sin ^{2} x-3a \cos \left ( \dfrac {\pi } {2} -x \right ) +a \sin (\pi +x)-a+ 8=0$
의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 정수 $\displaystyle a$ 의 개수를 구하시오.

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