🌱 2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (4세트)

$\displaystyle 0\le\theta<2\pi$ 에서 $\displaystyle \sin\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)-\cos\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)=-\frac{3}{4}$ 일 때, $\displaystyle \tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{12}\dfrac{3n^2+5n+2}{18n^2+30n+8}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

모든 항이 양수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ , $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n a_{n+1}=2^{\sin\frac{n}{6}\pi},\qquad b_n b_{n+1}=2^{\cos\frac{n}{3}\pi},\qquad c_n c_{n+1}=2^{\tan\frac{2n-1}{4}\pi}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\log_2(a_n b_n c_n)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

그림과 같이 $\displaystyle 1<k<16$ 인 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=|(x-1)(x-k)|$ 의 그래프가 직선 $\displaystyle y=m(x-1)$ 과 서로 다른 세 점에서 만난다. 세 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ 이라 하자. 세 수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ 이 이 순서대로 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열을 이룰 때, 공비 $\displaystyle r$ 가 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle m$ 은 양수이다.)

방정식 $\displaystyle \log_5\left(5^x+10\right)=\dfrac{x}{2}+\log_5\dfrac{10}{25}+2$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 할 때, $\displaystyle \dfrac{1}{5^{\alpha}}+\dfrac{1}{5^{\beta}}$ 의 값을 $\displaystyle m$ 이라 하자.정의역이 $\displaystyle \left\{x\ \middle|\ -\sqrt[5]{5}\le x\le-\dfrac{1}{125}\right\}$ 인 함수 $\displaystyle y=-\log_5(-x)+a$ 의 최댓값은 $\displaystyle M$ 이고 최솟값이 $\displaystyle m$ 일 때, $\displaystyle a$ , $\displaystyle M$ , $\displaystyle m$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

양수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(x)=(k-x)^3+6(k-x)^2+3(k-x)-18$ 이라고 하자. 닫힌구간 $\displaystyle [0,\ k]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ 가 열린구간 $\displaystyle (0,\ k)$ 에서 극값을 갖도록 하는 $\displaystyle k$ 의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값은 음수이다.

(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=f(2)$ 가 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 만나고 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표의 합은 6이다.

(다) $\displaystyle \lim\limits_{x\to5}\dfrac{1}{x-5}\left\{\displaystyle\int_a^x |f(t)|\,dt-2\int_a^3 |f(t)|\,dt\right\}=6$ $\displaystyle a\,f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(4,\,4)$ 와 실수 $\displaystyle m\,(m>1)$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 직선 $\displaystyle y=mx$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 지나며 $\displaystyle x$ 축에 수직인 직선이 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle S(m)$ , 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}$ 의 넓이를 $\displaystyle T(m)$ 이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{m\to1+}\dfrac{S(m)}{(m-1)\,T(m)}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 0보다 크다.) (10점)

사차함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3+x^2+8x+9$ 이고, 삼차함수 $\displaystyle g(x)$ 는 최고차항의 계수가 1이고 $\displaystyle g(0)=-\dfrac{1}{3}$ 이다. $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 같은 극댓값을 가질 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 극솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)