🏫 2026학년도 상명대 자연B 논술 기출

1이 아닌 두 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a:b=2:1$ 이고, 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 함수 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 A, B, C라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BC}}=1:8$ 을 만족시킬 때,

(1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}$ 의 값을 구하시오.

(2) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이를 구하시오.

(3) 점 C의 좌표를 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}=$ ______ (5.2점)

(2) 길이 $\displaystyle =$ ______ (2.7점)

(3) 좌표 $\displaystyle =$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

양수 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\pi\right)$ 의 주기를 $\displaystyle h(\alpha)$ 라 하고, $\displaystyle f(\alpha)=g(h(\alpha))-2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\pi\right\}$ 라 하자. 함수 $\displaystyle f(\alpha)$ 가 최댓값을 갖도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 하고, 함수 $\displaystyle f(\alpha)$ 가 최솟값을 갖도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최솟값을 $\displaystyle n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 양수)

(1) $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오.

(3) $\displaystyle |h(m)-h(n)|$ 의 값을 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle m=$ ______ (4.1점)

(2) $\displaystyle n=$ ______ (3.8점)

(3) $\displaystyle |h(m)-h(n)|=$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

함수 $\displaystyle f(x)=\log_a x\ (a>0,\ a\neq 1)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle 1<p<q$ 인 모든 실수 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 에 대하여 $\displaystyle f(p)(q-1)>f(q)(p-1)$ 이다.

(나) $\displaystyle |f(8)|=3$ 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프를 $\displaystyle x$ 축에 대하여 대칭이동한 후, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $\displaystyle y=g(x)$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 각각 A와 B라 하고, 두 함수의 교점을 C라 할 때,

(1) $\displaystyle f(x)=\log_a x$ 에서 밑 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

(2) 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.

(3) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이동한 후, $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle k$ 만큼 평행이동한 그래프가 점 $\displaystyle (-6,\ -1)$ 을 지날 때, 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle a=$ ______ (4.0점)

(2) 넓이 $\displaystyle =$ ______ (3.0점)

(3) $\displaystyle k=$ ______ (3.0점) 〔전체 10점〕

모든 항이 자연수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle a_{2n-1}=n^3+1$

(나) $\displaystyle a_{2n}-a_{2n-1}=d$ ( $\displaystyle d$ 는 상수)

(다) $\displaystyle a_n<a_{n+1}$ 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.

(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 값이 최소일 때, $\displaystyle a_{16}$ 의 값을 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하시오. (7.8점)

(2) $\displaystyle a_{16}=$ ______ (2.2점) 〔전체 10점〕

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ ( $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수)와 상수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=(x^2-2x+k)f(x)$ 라 할 때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle g'(2)\neq 0$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{g(x)-f(x)}{x-2}=0$ 이다.

(나) $\displaystyle f(t)=f'(t)$ 와 $\displaystyle g'(t)=3f'(t)$ 를 동시에 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 가 존재한다.다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 정확히 구하시오.

(2) $\displaystyle \frac{b}{a}$ 의 값을 구하시오.

(3) (1)을 만족시키는 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle g(t+5)=\frac{m}{n}$ 일 때, $\displaystyle m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 서로소인 자연수)[답란]

(1) 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.4점)

(2) $\displaystyle \frac{b}{a}=$ ______ (2.3점)

(3) $\displaystyle m+n=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}3x-18 & (x\ge 3)\\ -2x-3 & (x<3)\end{cases}$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-3)f(t)\,dt$ 라 할 때,

(1) 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 극값을 갖도록 하는 $\displaystyle x$ 의 값을 모두 정확히 구하시오.

(2) $\displaystyle g(x)$ 의 최솟값을 구하시오.

(3) 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=n$ 과의 교점의 개수를 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수)[답란]

(1) $\displaystyle x=$ ______ (2.7점)

(2) 최솟값 $\displaystyle =$ ______ (4.5점)

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k=$ ______ (2.8점) 〔전체 10점〕

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}$ 의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 $\displaystyle g'(x)=f(|x+5|)-f(|x|)$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ 에서 극솟값을 가질 때,

(1) 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.

(2) $\displaystyle x_0\neq\frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle g'(x_0)=0$ 을 만족시키는 두 실수 $\displaystyle x_0=\alpha$ 와 $\displaystyle x_0=\beta$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle \alpha<\beta$ )

(3) 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 극댓값을 갖도록 하는 $\displaystyle x$ 의 값을 정확히 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle f(x)=$ ______ (2.7점)

(2) 두 실수 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 구하는 과정을 서술하시오. (5.0점)

(3) $\displaystyle x=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x\ge 0$ 에서 $\displaystyle f(x)=x^2-4x$ 이고, 실수 전체에 대하여 $\displaystyle f(-x)+f(x)=0$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [t,\ t+2]$ 에서 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값을 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때,

(1) $\displaystyle g(1)$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle f(x)\neq g(x)$ 인 모든 $\displaystyle x$ 값의 범위를 구하시오.

(3) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.[답란]

(1) $\displaystyle g(1)=$ ______ (1.9점)

(2) 모든 $\displaystyle x$ 값의 범위 $\displaystyle =$ ______ (4.0점)

(3) 넓이 $\displaystyle =$ ______ (4.1점) 〔전체 10점〕