🏫 2025학년도 상명대 자연A 논술 기출

서로 다른 네 수 $\displaystyle -3$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle ab$ 에 대하여 $\displaystyle -3$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 이 순서대로 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열을 이루고, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle ab$ 는 이 순서대로 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열을 이룬다.이때, $\displaystyle d$ , $\displaystyle r$ 그리고 $\displaystyle ab$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle d=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.2점)

② $\displaystyle r=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.2점)

③ $\displaystyle ab=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.6점)

$\displaystyle y=x^2-2(\log_2 a+1)x+(\log_2 a+7)$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 만나지 않도록 하는 양수 $\displaystyle a$ 의 범위를 $\displaystyle 2^m<a<2^n$ 라 하자.

(1) $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오.

(2) 위에서 구한 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \log_4\left\{x^2+(m-n)x+mn\right\}\le\log_2\sqrt{mn(m-n)}$ 을 만족시키는 모든 정수 $\displaystyle x$ 의 합을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle m=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.1점)

② $\displaystyle n=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.1점)

③ 모든 정수 $\displaystyle x$ 의 합: ＿＿＿＿＿＿＿＿ (5.8점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle -2x^2+2x \le f(x) \le x^2+2x$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{f(x+2)-ax+b}{x^2-4}=4$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (4.8점)

② $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.2점)

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서 $\displaystyle a_{50}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{43}$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle 2a_{n+1}+3(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)=10$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_1$ 그리고 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle a_2=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (5점)

② $\displaystyle a_1=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.2점)

③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.8점)

$\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle (\log x)^2-(a+2)\log x-a+3=0$ 의 두 근을 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle q=10p$ 를 만족시키는 음수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

(2) 위에서 구한 $\displaystyle a$ 의 값에 따른 두 근 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 를 구하시오. (10점)

① $\displaystyle a=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (4점)

② $\displaystyle p=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.2점)

③ $\displaystyle q=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.8점)

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=8$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 선분 AB, BC, CA를 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점을 각각 P, Q, R이라 하자.삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 삼각형 PQR의 넓이를 $\displaystyle S_2$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle m>1$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}=\theta$ )

(1) 삼각형 PBQ의 넓이를 $\displaystyle m$ 에 관한 식으로 나타내시오.

(2) 두 삼각형 QCR과 RAP의 넓이가 같음을 보이시오.

(3) $\displaystyle S_2=\dfrac{1}{2}S_1$ 을 만족시키는 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [0,\,6)$ 에서 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x^2+2x+c & (0\le x<2) \\[4pt] \dfrac{1}{2}x^2-4x & (2\le x<6)\end{cases}$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x+6)$ 을 만족시킨다.

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 전체에서 연속일 때, 상수 $\displaystyle c$ 의 값을 구하시오.

(2) 이때, 열린구간 $\displaystyle (-100,\,100)$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극소인 모든 실수 $\displaystyle a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle a_m$ ( $\displaystyle m$ 은 자연수)라 하고, $\displaystyle x=b$ 에서 극대인 모든 실수 $\displaystyle b$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\displaystyle b_1$ , $\displaystyle b_2$ , $\displaystyle b_3$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle b_n$ ( $\displaystyle n$ 은 자연수)라 하자. $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}a_k$ 의 값과 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}|b_k|$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle c=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (2점)

② $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}a_k=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.4점)

③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}|b_k|=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (4.6점)

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x^2+1 & (0\le x<1) \\[2pt] 3x^2-3 & (1\le x\le 3)\end{cases}$ 라 하자.

(1) $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\dfrac{14}{3}$ 인 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle 0<x\le 2$ 에서 $\displaystyle S(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}f(t)\,dt$ 일 때, $\displaystyle S(x)$ 를 구하시오.

(3) 함수 $\displaystyle S(x)$ 가 $\displaystyle x=b$ 에서 최소일 때, $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle a=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (1.7점)

② $\displaystyle S(x)=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.6점)

③ $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (4.7점)