C190항을 나열하는 귀납적 정의3년 연속

교재 17문항 · 논술 기출 3문항

핵심

조건으로 갈라지는 귀납적 정의는 **항을 직접 써 내려가거나 거꾸로 거슬러 올라간다.** 일반항 공식을 찾으려 하지 말 것 — 그런 수열이 아니다.

해법

1앞에서 주는 문제면 $a_1$ 부터 규칙에 따라 나열해 주기나 패턴을 찾는다.
2뒤(예: $a_6=2$ )를 주고 앞을 묻는 문제면 **역추적**한다. 각 단계에서 어느 분기로 왔는지 경우를 나눈다.
3'모든 항이 정수' 같은 단서로 불가능한 경우를 쳐낸다.
4홀수항·짝수항으로 갈리는 꼴이면 둘을 짝지어 등차수열의 합으로 만든다.

공략

· **역추적형이 두 번 나왔다**(가천대 9번, 한기대 9번). 앞으로 나열하는 것보다 훨씬 까다롭다. 경우의 수를 표로 정리하며 내려가는 연습을 할 것.
· 서경대 5번처럼 $a_n$ 이 $n$ 의 홀짝으로 갈리면 $\sum_{k=1}^{50}$ 을 홀수항 25개 + 짝수항 25개로 쪼개 각각 등차수열의 합으로 계산한다.
· 역추적에서 **가능한 경우를 빠뜨리지 않았음을 보이는 것**이 배점이다. ' $a_5$ 가 정수인 경우와 아닌 경우' 를 둘 다 쓰고 하나를 모순으로 배제하는 서술이 필요하다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	7	8	2
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	6%/108문항	11%/70문항	20%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 3문항

2026 가천대 9번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 36번

모든 항이 정수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}-2a_n+7 & (a_n<0\ \text{인 경우})\\[2pt] a_n-n+5 & (a_n\ge 0\ \text{인 경우})\end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle a_6=11$ 일 때, $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_4$ , $\displaystyle \sum_{k=1}^{10} a_k$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 모든 항이 정수이고 a_n의 부호로 갈라지는 귀납적 정의에서, 뒤쪽 항의 값으로부터 거꾸로 경우를 나눠 앞 항을 추적하는 절차가 같다.

다른 점 · 수특은 a_10=20에서 가능한 a_1의 합을 묻고, 논술은 a_6=11에서 a_1, a_4와 Σ_{k=1}^{10}a_k를 구한다.

2026 서경대 5번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 23번

5. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=\begin{cases} 2n+1 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ a_{n-1}+1 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 10점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 23번은 a_n=2n-1(n 홀수), a_{n-1}+1(n 짝수) 에서 Σ(k=1..10)a_k 를 구한다. 논술은 2n+1 로 바꾸고 Σ(k=1..50) 을 묻는다. 홀수항·짝수항을 짝지어 등차수열의 합으로 만드는 절차가 같다.

다른 점 · 일반항의 상수와 합의 항수만 다르다.

2025 한국기술교육대 9번16점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{5}{a_n} & (a_n \text{이 정수인 경우})\\[6pt] 2a_n-1 & (a_n \text{이 정수가 아닌 경우})\end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle a_6=2$ 일 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle 2\sum\limits_{k=6}^{27} a_k$ 의 값을 구하시오. (6점)(2) $\displaystyle a_1+a_2$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점) (16점)

교재와 닮은 점 · 교재는 a_8=2에서 조건 분기(3의 배수 여부)로 정의된 수열을 거꾸로 추적해 a_1을 구하고, 논술은 a_6=2에서 정수 여부로 분기하는 수열을 추적한다. 뒤에서부터 가능한 항을 따지는 귀납적 정의 문제라는 점이 같다.

다른 점 · 논술은 앞으로는 주기 5의 순환을 이용해 Σ를, 뒤로는 a_1+a_2의 최대·최소를 묻는 2문항 구조다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 1035번

수열 $\displaystyle{\{a_n\}}$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 자연수 $\displaystyle{a_1}$ , $\displaystyle{a_2}$ 의 모든 순서쌍 $\displaystyle{(a_1, a_2)}$ 의 개수는?

$\displaystyle{a_{n+2} = \begin{cases} a_n +1 & ( a_n \le a_{n+1} ) \\ a_{n+1} & ( a_n > a_{n+1} ) \end{cases}}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{10} a_k = 60}$

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 10번

모든 항이 자연수인 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여
$\displaystyle a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} +1&~(a_{n} 이 홀수인 경우) \\ \dfrac {a_{n}} {2} +n^{} &~(a_{n} 이 짝수인 경우)^{}\end{cases}$
를 만족시킨다. $\displaystyle a_{1} =100$ 일 때, $\displaystyle a_{n} \lt 20$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오.

2025학년도 완성수학Ⅰ 03. 수열 28번

수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 은 $\displaystyle a_{1} =2$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여

$\displaystyle a_{n+1} = \dfrac {5} {{6a_{n} +3}}$

를 만족시킬 때, $\displaystyle a_{3}$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 12번

수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 은 $\displaystyle a_{1} =1$ 이고 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여
$\displaystyle a_{n+1} =n+ \sum \limits _{k=1}^{n} (-1)^{k} a_{k}$
를 만족시킨다. $\displaystyle a_{n+1} -a_{n} \lt -1$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값은?

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