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C168자연수의 거듭제곱의 합

교재 7문항 · 논술 기출 2문항

핵심

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2, ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6, ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2. 세 공식과 범위 조정만으로 대부분이 풀린다.

해법

  1. 1시작이 11 이 아니면 ∑k=pq=∑k=1q−∑k=1p−1\sum_{k=p}^{q}=\sum_{k=1}^{q}-\sum_{k=1}^{p-1} 로 바꾸거나 치환한다.
  2. 2다항식이면 차수별로 쪼개 공식에 넣는다.
  3. 3결과가 nn 의 식이면 인수분해해 정리한다.
  4. 4방정식이면 nn 이 자연수라는 조건으로 근을 고른다.

공략

  • · ∑k=515(k−5)\sum_{k=5}^{15}(k-5) 는 j=k−5j=k-5 로 치환하면 ∑j=010j\sum_{j=0}^{10}j 가 되어 한 줄에 끝난다. 범위를 옮기는 것을 두려워하지 말 것.
  • · ∑k=1mak=m2\sum_{k=1}^{m}a_k=m^2 꼴은 ak=2k−1a_k=2k-1 이다. 여기서도 a1a_1 이 일반식에 맞는지 확인하는 줄이 필요하다.
  • · 최종 식을 인수분해해 두면 뒤에 이어지는 문항의 계산이 훨씬 가벼워진다. 논술은 앞 문항의 결과를 뒤에서 그대로 쓴다.
학년도202520262027
교재 문항 수43—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)4%/108문항4%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 상명대 5번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 27번

수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 아래의 조건을 만족시킬 때,(가) 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an+1≠an\displaystyle a_{n+1}\neq a_n 이다.(나) ∑k=1nak=an 2+(n+1)an\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_n^{\,2}+(n+1)a_n 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항 a1\displaystyle a_1 을 구하시오.(2) ∣∑k=1nak∣>900\displaystyle \left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\right|>900 을 만족시키는 가장 작은 자연수 n\displaystyle n 을 구하시오.(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항 a1\displaystyle a_1 을 구하는 과정을 서술하시오. (3.9점)(2) n=\displaystyle n= __________ (6.1점)

교재와 닮은 점 · Σ로 주어진 관계식에서 n에 값을 넣고 이웃 항끼리 빼 일반항 관계를 뽑아내는 개념이 같다. 논술은 Σa_k=a_n^2+(n+1)a_n에서 n=1 대입과 계차로 a_n+a_{n+1}=-(n+1)을 얻는다.

다른 점 · 논술은 a_{n+1}≠a_n 조건으로 근을 배제하고 n의 홀짝에 따라 |Σ|>900을 따진다.

2025 상명대 4번10점동일개념2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 03. 수열 21번

수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에서 a50=(12)43\displaystyle a_{50}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{43} 이고, 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 2an+1+3(a1+a2+a3+⋯+an)=10\displaystyle 2a_{n+1}+3(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)=10 을 만족시킬 때, a2\displaystyle a_2 , a1\displaystyle a_1 그리고 ∑k=15ak\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k 의 값을 구하시오. (10점)① a2=\displaystyle a_2= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (5점)② a1=\displaystyle a_1= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.2점)③ ∑k=15ak=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k= ＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.8점)

교재와 닮은 점 · S_n이 식으로 주어진 관계에서 이웃하는 두 식을 빼 a_n을 얻는 개념이 같다. 논술은 2a_{n+1}+3Σa_k=10에서 차를 구해 a_{n+1}=-a_n/2 (n≥2)를 얻는다.

다른 점 · 논술은 n=1일 때가 예외여서 a_1을 따로 구하고 a_50 값으로 a_2를 역산한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 5번

∑k=515(k−5)\displaystyle{\sum \limits _{k=5}^{15} (k-5)}의 값을 구하시오.

2025학년도 완성수학Ⅰ 03. 수열 21번

수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 이 모든 자연수 m\displaystyle m 에 대하여 ∑k=1mak=m2\displaystyle \sum \limits _{{k=1}}^{{m}} a_{k} = m^{2}을 만족시킨다. ∑k=pqak=27\displaystyle \sum \limits _{{k=p}}^{{q}} a_{k} =27일 때, p×q\displaystyle p \times q의 값을 구하시오. (단, p,\displaystyle p, q\displaystyle q 는 2≤p<q\displaystyle 2 \le p \lt q인 자연수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 18번

∑k=19k2+∑k=19(−2k+1)\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{9} k^{2} + \sum \limits _{k=1}^{9} (-2k+1)의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 27번

수열 {an}\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }이 모든 자연수 n\displaystyle{n }에 대하여
∑k=1n(ak+1−ak)=∑k=1nk2−kn+1\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{n} (a_{k+1} -a_{k} )= \sum \limits _{k=1}^{n} \dfrac {{k^{2} -k}} {n+1}}
를 만족시킨다. a20=200\displaystyle{a_{20} =200}일 때, a1\displaystyle{a_{1}}의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

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