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C166시그마의 성질을 이용한 계산

교재 18문항 · 논술 기출 2문항

핵심

시그마는 선형연산이다. ∑(pak+qbk)=p∑ak+q∑bk\sum(pa_k+qb_k)=p\sum a_k+q\sum b_k 이고 ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n}c=nc 다. 반대로 ∑akbk\sum a_kb_k 와 (∑ak)(∑bk)(\sum a_k)(\sum b_k), ∑ak2\sum a_k^2 와 (∑ak)2(\sum a_k)^2 는 서로 다르다 — 쪼갤 수 있는 것과 없는 것을 가르는 것이 이 유형의 전부다.

해법

  1. 1괄호를 전개해 ∑ak2\sum a_k^2, ∑ak\sum a_k, ∑bk\sum b_k, 상수합 같은 부품으로 쪼갠다.
  2. 2상수항은 ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n}c=nc 로 바꾼다. 항의 개수 nn 을 빠뜨리는 실수가 가장 흔하다.
  3. 3부품을 각각 미지수로 두고 주어진 조건식을 연립한다.
  4. 4합의 범위가 서로 다르면 겹치는 구간을 소거하고 남는 항만 직접 센다.

공략

  • · ∑(ak+2)2=∑ak2+4∑ak+4n\sum(a_k+2)^2=\sum a_k^2+4\sum a_k+4n — 마지막 항이 44 가 아니라 4n4n 이다.
  • · ∑k=1nk4−∑k=2n−1k4\sum_{k=1}^{n}k^4-\sum_{k=2}^{n-1}k^4 처럼 범위가 다르면 공식을 쓰지 말고 남는 항(k=1k=1 과 k=nk=n)만 적는다.
  • · 논술은 시그마 자체보다 an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_n=S_n-S_{n-1}\,(n\ge2) 로 넘어가는 다리로 쓴다. 첫째항은 따로 확인하는 한 줄이 배점이다.
학년도202520262027
교재 문항 수135—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)12%/108문항7%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2025 상명대 3번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법

모든 항이 양수인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항부터 제 n\displaystyle n 항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n 이라 할 때, 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 6Sn=an 2+3an−10\displaystyle 6S_n=a_n^{\,2}+3a_n-10 을 만족시킨다. a10\displaystyle a_{10} , a1\displaystyle a_1 그리고 ∑k=110ak\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k 의 값을 구하시오. (10점)① a10\displaystyle a_{10} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (6점)② a1=\displaystyle a_1= __________ (1.5점)③ ∑k=110ak=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k= __________ (2.5점)

교재와 닮은 점 · 교재는 a_n a_{n+1}=Σa_k에서 이웃 식을 빼 a_{n+2}=a_n+2를 유도하고, 논술은 6S_n=a_n^2+3a_n-10에서 같은 방식으로 (a_n-a_{n-1}-3)(a_n+a_{n-1})=0을 얻어 공차 3을 확정한다.

다른 점 · 논술은 n=1을 따로 대입해 a_1=5를 정하고 등차수열의 합까지 계산하게 한다.

2025 서경대 6번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법

수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an+an+3=15\displaystyle a_n+a_{n+3}=15 를 만족시킨다. ∑n=13an=10\displaystyle \sum_{n=1}^{3} a_n=10 일 때, ∑n=163an\displaystyle \sum_{n=1}^{63} a_n 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항은 a_n+a_{n+3}=10, Σ(n=1..3)a_n=5 에서 Σ(n=1..9)a_n 을 구한다. 논술은 15와 10으로 숫자만 바꾼 같은 문항으로, 세 항씩 묶어 45-(직전 세 항의 합)으로 반복시키는 절차가 같다.

다른 점 · 합의 범위가 9항에서 63항으로 늘어 6주기 반복을 일반화해야 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 1번

두 수열 {an},\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} ,} {bn}\displaystyle{\left \{ b_{n} \right \} }에 대하여
∑k=120(ak+2)2=8∑k=120bk,\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{20} (a_{k} +2)^{2} =8 \sum \limits _{k=1}^{20} b_{k} ,} ∑k=120(ak−2bk)=−40\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{20} (a_{k} -2b_{k} )=-40}
일 때, ∑k=120ak 2\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{20} a_{k}^{{~2}}}의 값을 구하시오.

2025학년도 완성수학Ⅰ 03. 수열 19번

두 수열 {an},\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} , {bn}\displaystyle \left \{ b_{n} \right \} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여

an+52bn=32\displaystyle a_{n} + \dfrac {5} {2} b_{n} = \dfrac {3} {2}

을 만족시킬 때, 4∑n=15an+10∑n=15bn\displaystyle 4 \sum \limits _{{n=1}}^{{5}} a_{n} + 10 \sum \limits _{{n=1}}^{{5}} b_{n}의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 2번

두 수열 {an},\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} ,} {bn}\displaystyle{\left \{ b_{n} \right \} }에 대하여
∑k=115(2ak+1)=25,\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{15} (2a_{k} +1)=25,} ∑k=115(ak+bk)=30\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{15} (a_{k} +b_{k} )=30}
일 때, ∑k=115bk\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{15} b_{k}}의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 16번

∑k=1nk4−∑k=2n−1k4=82\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n} k^{4} - \sum \limits _{k=2}^{n-1} k^{4} =82를 만족시키는 자연수 n\displaystyle n 의 값은?

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