C158조건을 만족시키는 등비수열의 합

교재 7문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$r\ne1$ 이면 $S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ , $r=1$ 이면 $S_n=na_1$ . 부분합의 차 $S_m-S_n$ 은 $a_{n+1}$ 부터 $a_m$ 까지의 합이고, 그 자체가 다시 등비수열의 합이다.

해법

1 $r=1$ 인 경우를 먼저 따로 확인하고 배제한다.
2 $S_m-S_n=a_{n+1}\dfrac{r^{m-n}-1}{r-1}$ 로 묶는다.
3비로 주어진 조건을 $r$ 만의 방정식으로 바꾼다.
4단서( $a_1\ne0$ , $r\ne\pm1$ )로 근을 거른다.

공략

· $\dfrac{a_8-a_6}{S_8-S_6}$ 은 분모를 $a_7+a_8$ 로 먼저 풀어야 약분이 보인다. 합의 공식을 그대로 대입하면 식이 불어난다.
· $\{a_{2n}\}$ , $\{a_{3n-1}\}$ 같은 부분수열도 등비수열이고 공비는 각각 $r^2$ , $r^3$ 이다.
· $|S_n|>400$ 처럼 절댓값 부등식이면 $r<0$ 일 때 $n$ 의 홀짝에 따라 부호가 달라진다. 홀수와 짝수를 나눠 푸는 것이 정석이다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	4	3	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	4%/108문항	4%/70문항	0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 상명대 4번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 34제 29번

모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n<a_{n+1}$ 이고, 첫째항 $\displaystyle a_1$ 과 공비의 곱이 1인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 을 $\displaystyle b_n=a_{3n-1}$ 이라 하자. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle A_n$ , 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 의 첫째항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle B_n$ 이라 할 때, $\displaystyle 2A_9=7B_3$ 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 공비를 구하시오.(2) $\displaystyle \dfrac{b_n}{a_n}>1024$ 를 만족시키는 가장 작은 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.(3) $\displaystyle \log_{b_3}a_5$ 의 값을 구하시오.(1) 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 공비를 구하는 과정을 서술하시오. (5.1점)(2) $\displaystyle n=$ __________ (3.0점)(3) $\displaystyle \log_{b_3}a_5=$ __________ (1.9점)

교재와 닮은 점 · 교재 29번은 등비수열의 10항 합 S와 부분수열 {a_2n}의 5항 합 T의 비 S/T=5로 공비 r를 구하고, 논술은 b_n=a_{3n-1}의 합 B_3와 A_9의 관계 2A_9=7B_3으로 공비를 구한다. 등비수열 합 공식을 세워 r의 방정식으로 바꾸는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 부분수열 간격이 3이고 a_1r=1 조건, 증가수열 조건으로 근을 하나 걸러낸 뒤 추가 소문항이 붙는다.

2025 가천대 7번10점변형2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 03. 수열 11번

공비 $\displaystyle r$ 가 음수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\displaystyle \frac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4}=\frac{64}{9}$ 일 때, $\displaystyle r$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a_1\neq 0$ , $\displaystyle r\neq -1$ ) (10점)

교재와 닮은 점 · 수능완성 11번은 등비수열에서 (a₈-a₆)/(S₈-S₆)=4 로 공비 r를 구하며 a₁≠0 등 단서까지 붙는다. 논술도 (S₄-S₁)/(S₁₀-S₄)=64/9 로 r를 묻고 a₁≠0, r≠-1 단서가 같은 형식이다.

다른 점 · 논술은 부분합의 차를 r³에 대한 이차방정식으로 정리해야 하고 공비가 음수라는 조건으로 근을 고른다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 10번

첫째항이 $\displaystyle 8$ 이고 공비가 $\displaystyle -2$ 인 등비수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 하자. $\displaystyle ~|~ S_{n} ~|~ \gt 400$ 을 만족시키는 홀수 $\displaystyle n$ 의 최솟값은?

2025학년도 완성수학Ⅰ 03. 수열 11번

공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 하자.

$\displaystyle \dfrac {{a_{8} - a_{6}}} {{S_{8} - S_{6}}} =4$

일 때, $\displaystyle r$ 의 값은? (단, $\displaystyle a_{1} \ne 0,$ $\displaystyle r\ne 0,$ $\displaystyle r^{2} \ne 1$ )

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 27번

등비수열 $\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }$ 이 모든 자연수 $\displaystyle{n }$ 에 대하여

$\displaystyle{\dfrac {a_{n+2}} {a_{n}} =1,}$ $\displaystyle{\dfrac {a_{n+1}} {a_{n+2}} \ne 1}$

을 만족시킨다. $\displaystyle{a_{1} +a_{2} +a_{3} +\cdots +a_{21} =10}$ 일 때, $\displaystyle{a_{1} +a_{10} +a_{21}}$ 의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 29번

첫째항이 $\displaystyle 1$ 이고 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 이 있다. 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle 10$ 항까지의 합을 $\displaystyle S$ 라 하고, 수열 $\displaystyle \left \{ a_{2n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle 5$ 항까지의 합을 $\displaystyle T$ 라 하자. $\displaystyle \dfrac {S} {{T}} =5$ 일 때, $\displaystyle r$ 의 값은?

같은 단원의 다른 개념

C190 항을 나열하는 귀납적 정의기출 3공략 C166 시그마의 성질을 이용한 계산기출 2공략 C140 등차수열의 합기출 2공략 C174 일반항을 찾아 수열의 합 구하기기출 2공략 C151 항의 관계가 주어진 등비수열기출 2공략 C168 자연수의 거듭제곱의 합기출 2공략 C179 분수꼴인 수열의 합기출 2공략 C073 분수 꼴의 수열의 합(부분분수)기출 2공략