C140등차수열의 합

교재 12문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}2$ . $S_n$ 은 상수항이 없는 $n$ 의 이차식이고, 거꾸로 $a_n=S_n-S_{n-1}\,(n\ge2)$ 다.

해법

1 $a_1$ 과 $d$ 두 미지수로 놓고 조건을 식 두 개로 만든다.
2합의 차는 항의 합으로 바꾼다. $S_{n+2}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}$ .
3 $n$ 에 대한 항등식이 되면 계수를 비교한다.
4최대·최소나 부호를 묻는 문제는 $a_n$ 의 부호가 바뀌는 $n$ 을 먼저 찾는다.

공략

· $S_n$ 이 최대가 되는 $n$ 은 $a_k\ge0>a_{k+1}$ 인 $k$ 다. 이차식의 축으로 어림하고 정수로 확정한다.
· $d<0$ 이면 $S_n$ 은 위로 볼록한 이차식이라 최댓값이, $d>0$ 이면 최솟값이 생긴다.
· 「 $S_n<0$ 이 되는 최소의 $n$ 」 같은 조건은 부등식을 세워 푸는 과정 자체가 배점이다. 답만 쓰면 안 된다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	9	3	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	8%/108문항	4%/70문항	0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2025 한국공학대 3번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle S_{n+2}-S_n=10n+9$ 가 성립할 때, $\displaystyle a_3$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 S_{n+2}-S_n=a_{n+2}+a_{n+1}로 고쳐 n에 대한 일차식의 계수를 비교해 첫째항과 공차를 정한다.

다른 점 · 교재는 그 뒤 S_p=S_q인 순서쌍의 개수를 묻지만, 논술은 a_3만 구하고 끝난다.

2025 한국기술교육대 10번16점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열

모든 항이 0이 아닌 정수이고 공차 $\displaystyle d$ 가 양수인 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 의 각 항을 작은 수부터 다시 차례로 나열한 수열을 $\displaystyle \{M_n\}$ 이라 하면, 수열 $\displaystyle \{M_n\}$ 이 $\displaystyle M_2-M_1=M_3-M_2=2$ 를 만족시킨다. $\displaystyle S_n>0$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값이 13일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 의 모든 항은 서로 다르다.)(1) 공차 $\displaystyle d$ 의 값을 구하시오. (8점)(2) 첫째항 $\displaystyle a_1$ 의 값을 구하시오. (8점) (16점)

교재와 닮은 점 · 교재는 공차가 음수인 등차수열의 S_n을 큰 수부터 나열한 M_n에서 M1-M2=2, M2-M3=1, S_n<0의 최소 n이 21일 때 a_1, 논술은 공차가 양수이고 작은 수부터 나열, S_n>0의 최소 n이 13일 때 d와 a_1이다. 부호가 바뀌는 지점 근처의 S_k들을 비교해 a_k, a_{k+1}을 얻는 풀이가 같다.

다른 점 · 부호와 나열 방향이 반대이고 두 차가 모두 2로 같아 경우분류가 한 갈래 더 생긴다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 5번

첫째항이 $\displaystyle -10$ 이고 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle 12$ 항까지의 합이 $\displaystyle 78$ 일 때, $\displaystyle d$ 의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 0번

등차수열 $\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle{n}$ 항까지의 합을 $\displaystyle{S_{n}}$ 이라 하자. $\displaystyle{\\ a_{3}=9, a_{6}+S_{9}=174\\}$ 일 때, $\displaystyle{a_{10}}$ 의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 16번

공차가 $\displaystyle 0$ 이 아닌 등차수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 하자. $\displaystyle a_{3} =3a_{7}$ 일 때, $\displaystyle S_{k} =0$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 23번

등차수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 에 대하여 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} +a_{n+2} \right \}$ 는 첫째항이 $\displaystyle -6,$ 공차가 $\displaystyle 4$ 인 등차수열이다. 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle 10$ 항까지의 합을 구하시오.

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