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C073분수 꼴의 수열의 합(부분분수)

교재 6문항 · 논술 기출 2문항

핵심

이웃 항이 지워지게 만드는 것이 목표다. 분모가 곱이면 부분분수 1akak+1=1d(1ak−1ak+1)\dfrac1{a_ka_{k+1}}=\dfrac1d\left(\dfrac1{a_k}-\dfrac1{a_{k+1}}\right), 분모가 무리식이면 켤레를 곱해 유리화한다.

해법

  1. 1분모가 곱이면 부분분수로, 무리식이면 켤레를 곱해 차의 꼴로 바꾼다.
  2. 2앞에 붙는 계수(공차의 역수, 유리화의 분모)를 정확히 적는다.
  3. 3k=1,2,3k=1,2,3 을 직접 나열해 무엇이 지워지고 무엇이 남는지 확인한다.
  4. 4남는 앞뒤 항만 계산하고 마지막에 약분한다.

공략

  • · 2k+1+k−1=k+1−k−1\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1} 처럼 두 근호의 차가 22 면 한 칸 건너뛰며 지워져 앞뒤로 두 항씩 남는다. 한 항씩만 남을 거라 넘겨짚지 말 것.
  • · ∑k=1n1akak+1=1d(1a1−1an+1)=na1an+1\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{a_ka_{k+1}}=\dfrac1d\left(\dfrac1{a_1}-\dfrac1{a_{n+1}}\right)=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}} 까지 외워 두면 공차를 묻는 문제가 한 줄에 끝난다.
  • · 답을 서로소인 pp, qq 로 쓰게 하는 형식이 반복된다. 마지막 약분을 빠뜨리면 답이 틀린다.
학년도202520262027
교재 문항 수—6—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)0%/108문항9%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 7번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 7번

첫째항이 1\displaystyle 1 인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에 대하여 ∑n=110an=100\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n=100 일 때, ∑n=1102anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\dfrac{2}{a_n a_{n+1}} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 첫째항이 1인 등차수열에서 공차를 먼저 확정하고 1/(a_k a_{k+1})을 부분분수로 분해해 소거되는 합을 구하는 과정이 사실상 같다.

다른 점 · 수특은 합의 조건식에서 공차 d를 묻고, 논술은 Σa_n=100으로 a_n=2n-1을 정한 뒤 합 20/21을 직접 계산하게 한 정도다.

2026 가천대 8번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 28번

첫째항이 4745\displaystyle \frac{47}{45} 인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an+1=an+(−1)n×2n+1n(n+1)\displaystyle a_{n+1}=a_n+(-1)^n\times\frac{2n+1}{n(n+1)} 을 만족시킬 때, a2025=qp\displaystyle a_{2025}=\frac{q}{p} 이다. p+q\displaystyle \sqrt{p}+q 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)(단, p\displaystyle p , q\displaystyle q 는 서로소인 자연수이다.)

교재와 닮은 점 · (2n+1)/{n(n+1)}=1/n+1/(n+1) 부분분수 분해 후 이웃 항이 소거되는 합을 다루고, 답을 서로소인 p, q로 나타내는 형식도 같다.

다른 점 · 수특은 Σ로 직접 주어진 분수꼴 합이고, 논술은 (-1)^n이 붙은 귀납적 정의에서 계차의 합으로 일반항을 구하는 구조다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 7번

첫째항이 1\displaystyle 1 이고 공차가 d\displaystyle d 인 등차수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 에 대하여
∑k=1101akak+1=5a10−a1\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{10} \dfrac {1} {{a_{k} a_{k+1}}} = \dfrac {5} {{a_{10} -a_{1}}}
일 때, d\displaystyle d 의 값은? (단, d≠0\displaystyle d\ne 0)

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 8번

∑k=1152k+1+k−1\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{15} \dfrac {2} {{\sqrt {k+1} + \sqrt {k-1}}}의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 9번

∑k=110(2k+1k+1+k+1k)\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{10} \left ( \dfrac {2k+1} {k+1} + \dfrac {k+1} {k} \right ) }의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 19번

∑k=1n2k(k+2)+∑k=1n1n(n+2)=107\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n} \dfrac {2} {k(k+2)} + \sum \limits _{k=1}^{n} \dfrac {1} {n(n+2)} = \dfrac {10} {7}을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n 의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

C190 항을 나열하는 귀납적 정의기출 3공략C166 시그마의 성질을 이용한 계산기출 2공략C140 등차수열의 합기출 2공략C174 일반항을 찾아 수열의 합 구하기기출 2공략C151 항의 관계가 주어진 등비수열기출 2공략C158 조건을 만족시키는 등비수열의 합기출 2공략C168 자연수의 거듭제곱의 합기출 2공략C179 분수꼴인 수열의 합기출 2공략