D089방정식 |f(x)|=a 의 서로 다른 실근의 개수

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta\ (\alpha<\beta)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f'(\alpha)=f'(\beta)=0$ (나) $\displaystyle f(\alpha)f(\beta)<0$ (다) $\displaystyle |f(\beta)|=2|f(\alpha)|$ 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid |f(x)|-|f(t)|=0\right\}$ 의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle t$ 의 개수가 $\displaystyle m$ 이고, 이러한 $\displaystyle m$ 개의 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 작은 수부터 차례로 $\displaystyle t_1,\ t_2,\ t_3,\ \cdots,\ t_m$ 이라 하자. $\displaystyle \dfrac{1}{|f(\alpha)|}\sum\limits_{i=1}^{m} f(t_i)$ 의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능완성 27번은 삼차함수에서 f'(α)=f'(β)=0, f(α)f(β)<0 하에 |f(x)|=|f(k)|의 실근 개수가 3이 되는 k들의 개수 m과 Σf(k_i)를 묻는다. 논술은 같은 설정에서 실근 개수가 홀수인 t들의 Σf(t_i)/|f(α)|를 묻는다.

다른 점 · 부가조건이 f(α)+f(β)>0 대신 |f(β)|=2|f(α)|이고, 개수 조건을 '3'에서 '홀수'로 일반화해 최고차항 부호까지 경우를 나눠야 한다.

실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^2+6x+k & (x<0)\\[2pt] x^2-4x+k & (x\ge 0)\end{cases}$ 이라 하자. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=|f(x)|$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=t$ 의 교점의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle k=2$ 일 때, $\displaystyle g(1)$ 의 값을 구하시오. (6점)(2) $\displaystyle 0<k<2$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(t)$ 가 $\displaystyle t=a$ 에서 불연속인 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값의 합을 구하시오. (10점) (16점)

교재와 닮은 점 · 교재 23번은 |f(x)|=t의 실근 개수 g(t)로 h(t)=g(t)-g(t-2)가 불연속인 모든 a의 합을 묻고, 논술도 y=|f(x)|와 y=t의 교점 개수 g(t)가 불연속인 모든 a의 합을 묻는다. 절댓값 그래프와 수평선이라는 소재와 발문이 같아 기존(같은 학년도 f(x)=t 보기형)보다 가깝다.