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C077발견적 추론(규칙성 추론)

교재 6문항 · 논술 기출 2문항

핵심

경우로 갈라지는 귀납적 정의에는 공식이 없다. 앞에서부터 직접 몇 항을 계산해 주기나 패턴을 찾고, 뒤에서 거꾸로 갈 때는 경우를 하나도 빠뜨리지 않는 것이 전부다.

해법

  1. 1a1a_1 부터 대여섯 항을 직접 계산해 나열한다.
  2. 2주기가 생기는지, 증가하다 감소로 돌아서는지 패턴을 찾는다.
  3. 3뒤 항이 주어졌으면 각 분기를 역으로 적용해 가능한 앞 항을 모두 적는다.
  4. 4자연수·정수·부호 조건에 어긋나는 가지를 쳐 내고 남은 것을 답으로 삼는다.

공략

  • · 역추적에서 an+1a_{n+1} 이 같아도 ana_n 은 둘일 수 있다. 나무 그림으로 다 적은 뒤 조건으로 거르는 것이 안전하다.
  • · 홀수항과 짝수항으로 갈리는 정의는 둘을 따로 묶으면 각각 등차나 등비가 되는 경우가 많다.
  • · 논술은 「n=1,2,3n=1,2,3 을 구해 규칙을 추정하고 그것이 성립함을 보인다」는 형식을 요구한다. 나열한 계산 과정 자체가 배점이다.
학년도202520262027
교재 문항 수—6—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)0%/108문항9%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 9번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 36번

모든 항이 정수인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an+1={−2an+7(an<0 인 경우)an−n+5(an≥0 인 경우)\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}-2a_n+7 & (a_n<0\ \text{인 경우})\\[2pt] a_n-n+5 & (a_n\ge 0\ \text{인 경우})\end{cases} 를 만족시킨다. a6=11\displaystyle a_6=11 일 때, a1\displaystyle a_1 , a4\displaystyle a_4 , ∑k=110ak\displaystyle \sum_{k=1}^{10} a_k 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 모든 항이 정수이고 a_n의 부호로 갈라지는 귀납적 정의에서, 뒤쪽 항의 값으로부터 거꾸로 경우를 나눠 앞 항을 추적하는 절차가 같다.

다른 점 · 수특은 a_10=20에서 가능한 a_1의 합을 묻고, 논술은 a_6=11에서 a_1, a_4와 Σ_{k=1}^{10}a_k를 구한다.

2026 서경대 5번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 23번

5. 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an={2n+1(n이 홀수인 경우)an−1+1(n이 짝수인 경우)\displaystyle a_n=\begin{cases} 2n+1 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ a_{n-1}+1 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases} 를 만족시킨다. ∑k=150ak\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 10점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 23번은 a_n=2n-1(n 홀수), a_{n-1}+1(n 짝수) 에서 Σ(k=1..10)a_k 를 구한다. 논술은 2n+1 로 바꾸고 Σ(k=1..50) 을 묻는다. 홀수항·짝수항을 짝지어 등차수열의 합으로 만드는 절차가 같다.

다른 점 · 일반항의 상수와 합의 항수만 다르다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 10번

모든 항이 자연수인 수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여
an+1={an+1 (an이홀수인경우)an2+n (an이짝수인경우)\displaystyle a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} +1&~(a_{n} 이 홀수인 경우) \\ \dfrac {a_{n}} {2} +n^{} &~(a_{n} 이 짝수인 경우)^{}\end{cases}
를 만족시킨다. a1=100\displaystyle a_{1} =100일 때, an<20\displaystyle a_{n} \lt 20을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n 의 최솟값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 12번

수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 은 a1=1\displaystyle a_{1} =1이고 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여
an+1=n+∑k=1n(−1)kak\displaystyle a_{n+1} =n+ \sum \limits _{k=1}^{n} (-1)^{k} a_{k}
를 만족시킨다. an+1−an<−1\displaystyle a_{n+1} -a_{n} \lt -1을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n 의 최솟값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 20번

수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여
an+1=2an−n\displaystyle a_{n+1} =2a_{n} -n
을 만족시킨다. a1=5\displaystyle a_{1} =5일 때, a5\displaystyle a_{5}의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 23번

수열 {an}\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }이 모든 자연수 n\displaystyle{n }에 대하여
an={2n−1 (n이 홀수인 경우)an−1+1 (n이 짝수인 경우)\displaystyle{a_{n} = \begin{cases} 2n-1&~(n이 ~홀수인~ 경우) \\ a_{n-1} +1^{} &~(n이 ~짝수인~ 경우)^{}\end{cases}}
를 만족시킨다. ∑k=110ak\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{10} a_{k}}의 값을 구하시오.

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