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D152정적분과 역함수로 둘러싸인 부분의 넓이

교재 3문항 · 논술 기출 1문항

핵심

y=f(x)y=f(x) 와 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 는 y=xy=x 에 대칭이므로, 역함수 쪽 넓이는 원래 함수 쪽 넓이를 뒤집어 얻는다. 역함수를 구하지 않고 넓이를 계산하는 것이 이 유형의 요령이다.

해법

  1. 1y=xy=x 와의 관계를 그림에 표시한다.
  2. 2역함수와 xx 축, 직선으로 둘러싸인 넓이를 직사각형에서 원래 함수의 적분을 뺀 것으로 바꾼다.
  3. 3필요하면 대칭을 이용해 두 배로 계산한다.
  4. 4교점은 f(x)=xf(x)=x 로 구한다(증가함수일 때).

공략

  • · ∫0bf−1(x) dx=b⋅f−1(b)−∫0f−1(b)f(x) dx\displaystyle\int_0^bf^{-1}(x)\,dx=b\cdot f^{-1}(b)-\displaystyle\int_0^{f^{-1}(b)}f(x)\,dx 다. 직사각형에서 빼는 그림을 그려 두면 식을 외우지 않아도 된다.
  • · 역함수를 직접 구하려 들면 삼차함수에서는 막힌다. 대칭과 직사각형만으로 처리되도록 식을 세우는 것이 정석이다.
  • · 「y=xy=x 에 대칭임을 이용하여」라는 근거 문장이 논술의 배점이다. 결과만 쓰면 그 점수를 잃는다.
학년도202520262027
교재 문항 수21—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)2%/92문항2%/62문항0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국공학대 8번15점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

함수 f(x)=13x3−x2+53x−2\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\frac{5}{3}x-2 의 역함수를 g(x)\displaystyle g(x) 라 하자. 두 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x) , y=∣x∣\displaystyle y=|x| 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

교재와 닮은 점 · 삼차함수의 역함수 g(x)와 y=|x|의 그래프로 둘러싸인 넓이를 묻는 문장이 그대로 같고 f(x)의 계수만 다르다. 둘 다 y=x 대칭으로 옮겨 정적분으로 계산한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 3개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 23번

a>1\displaystyle{a \gt 1}인 실수 a\displaystyle{a }에 대하여 함수 f(x)=ax−1+1\displaystyle{f \left ( x \right ) =a^{{x-1}} +1}이 있다. p<q\displaystyle{p \lt q}인 두 상수 p\displaystyle{p }, q\displaystyle{q }에 대하여 f(p)=p\displaystyle{f \left ( p \right ) =p}, f(q)=q\displaystyle{f \left ( q \right ) =q}이고 곡선 y=f(x)\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }와 직선 y=x\displaystyle{y=x}로 둘러싸인 부분의 넓이가 6\displaystyle{6 }일 때, ∫pq{log⁡a(x−1)−ax−1}dx\displaystyle{\displaystyle \int_{{p}}^{{q}} \left \{ \log _{{a}} \left ( x-1 \right ) -a^{{x-1}} \right \} dx}의 값을 구하시오.

2025학년도 완성수학Ⅱ 06. 다항함수의 적분법 22번

실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 f(x)\displaystyle f \left ( x \right ) 에 대하여 f(2)=2\displaystyle f \left ( 2 \right ) =2, f(4)=8\displaystyle f \left ( 4 \right ) =8이다. 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f \left ( x \right ) 와 두 직선 y=2\displaystyle y=2, y=8\displaystyle y=8및 y\displaystyle y 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 16\displaystyle 16일 때, ∫24f(x)dx\displaystyle \displaystyle \int_{{2}}^{{4}} {f \left ( x \right ) dx}의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅱ 7. 정적분의 활용 0번

함수 f(x)=27x3+x−167\displaystyle{f(x)=\frac{2}{7} x^{3}+x-\frac{16}{7}}의 역함수를 g(x)\displaystyle{g(x)}라 하자. 두 함수 y=g(x),y=∣x∣\displaystyle{y=g(x), y=|x|}의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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