← 수학Ⅱ 다항함수의 적분법

D147도형의 넓이를 이등분하는 경우

교재 2문항 · 논술 기출 1문항

핵심

넓이를 이등분한다는 조건은 「한쪽 넓이가 전체의 절반」이라는 정적분 방정식이다. 전체를 먼저 구하고 한쪽을 미지수의 식으로 써서 같다고 놓는다.

해법

  1. 1전체 넓이를 정적분으로 구한다.
  2. 2나누는 직선이나 곡선과의 교점을 미지수로 둔다.
  3. 3한쪽 조각의 넓이를 그 미지수의 식으로 쓴다.
  4. 4전체의 절반과 같다고 놓고 방정식을 푼다.

공략

  • · 이등분선이 지나야 하는 점이 정해져 있으면 미지수가 하나로 줄어든다. 조건을 먼저 정리하고 적분을 시작한다.
  • · 삼차방정식이 나오면 유리근을 먼저 찾아 인수분해한다. 구간 안의 근만 답이 된다는 점을 확인할 것.
  • · 대칭인 도형이면 대칭축이 곧 이등분선이다. 적분하기 전에 대칭 여부를 살피면 계산이 통째로 없어진다.
학년도202520262027
교재 문항 수11—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)1%/92문항2%/62문항0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 한국공학대 7번10점동일개념2023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 18번

실수 k (k>1)\displaystyle k\,(k>1) 에 대하여 곡선 y=x2−x\displaystyle y=x^2-x 와 직선 y=kx\displaystyle y=kx 가 만나는 두 점 중 원점이 아닌 점을 P\displaystyle \mathrm{P} 라 하고, 직선 y=kx\displaystyle y=kx 가 직선 x=2k\displaystyle x=2k 와 만나는 점을 Q\displaystyle \mathrm{Q} 라 하자. 곡선 y=x2−x\displaystyle y=x^2-x 와 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP} 로 둘러싸인 부분의 넓이를 A\displaystyle A 라 하고, 곡선 y=x2−x\displaystyle y=x^2-x 와 직선 x=2k\displaystyle x=2k 및 선분 PQ\displaystyle \mathrm{PQ} 로 둘러싸인 부분의 넓이를 B\displaystyle B 라 하자. A−B=83\displaystyle A-B=\frac{8}{3} 일 때, k\displaystyle k 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, O\displaystyle \mathrm{O} 는 원점이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 곡선과 직선 사이의 넓이를 직선 x=a(논술은 x=2k)로 나눈 두 부분의 넓이 관계식을 정적분으로 세워 상수를 구한다. 논술은 A-B=8/3을 하나의 정적분으로 합치는 점이 다르다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 2개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 18번

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 O(0, 0)\displaystyle{{{O}} \left ( 0,~ 0 \right ) }, A(4, 0)\displaystyle{{{A}} \left ( 4,~ 0 \right ) }, B(23, 103)\displaystyle{{{B}} \left ( \dfrac {{2}} {{3}} ,~ \dfrac {{10}} {{3}} \right ) }에 대하여 점 O\displaystyle{{{O}}}를 꼭짓점으로 하는 이차함수 y=f(x)\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }의 그래프가 삼각형 OAB\displaystyle{{{OAB}}}의 넓이를 이등분할 때, f(6)\displaystyle{f \left ( 6 \right ) }의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 7. 정적분의 활용 0번

그림과 같이 두 함수

f(x)={x+1(x<0)(x−1)2(x+1)(x≥0),\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x+1 & (x<0) \\ (x-1)^{2}(x+1) & (x \geq 0)\end{cases},}

g(x)={ax(x<0)0(x≥0)\displaystyle{g(x)=\begin{cases}a x & (x<0) \\ 0 & (x \geq 0)\end{cases}}

에 대하여 두 함수 y=f(x),y=g(x)\displaystyle{y=f(x), y=g(x)}의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이가 y\displaystyle{y}축에 의하여 이등분될 때, 상수 a\displaystyle{a}의 값을 구하시오. (단, a<0\displaystyle{a<0})

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