D146두 도형의 넓이가 서로 같은 경우

자연수 $\displaystyle{n }$과 $\displaystyle{n }$보다 큰 실수 $\displaystyle{t }$에 대하여 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{2}} -nx}$와 두 점 $\displaystyle{{{P}} \left ( n,~ 0 \right ) }$, $\displaystyle{{{Q}} \left ( t,~ 0 \right ) }$이 있다. 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$와 $\displaystyle{x }$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{A }$, 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$와 선분 $\displaystyle{{{PQ}}}$ 및 직선 $\displaystyle{x=t}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{B }$라 하자. $\displaystyle{A =B}$를 만족시키는 실수 $\displaystyle{t }$의 값을 $\displaystyle{a_{{n}}}$이라 할 때, $\displaystyle{\sum \limits _{{n=1}}^{{8}} a_{{n}}}$의 값을 구하시오.

양수 $\displaystyle a$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=x^{{2}} -ax$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle A$, 곡선 $\displaystyle y=-x^{{3}} +ax^{{2}}$과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle B$라 하자. $\displaystyle A=B$일 때, $\displaystyle a$의 값은?

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$인 삼차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$에 대하여 함수 $\displaystyle{y=f ' \left ( x \right ) }$의 그래프는 두 점 $\displaystyle{{{P}} \left ( -2,~ 0 \right ) }$, $\displaystyle{{{Q}} \left ( k,~ 0 \right ) ~ \left ( -2 \lt k \lt 0 \right ) }$을 지난다. 곡선 $\displaystyle{y=f ' \left ( x \right ) }$와 선분 $\displaystyle{{{PQ}}}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{1}}}$, 곡선 $\displaystyle{y=f ' \left ( x \right ) }$와 $\displaystyle{y }$축 및 선분 $\displaystyle{{{QO}}}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{2}}}$라 하자. $\displaystyle{S_{{1}} =S_{{2}}}$이고 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$의 극댓값이 $\displaystyle{2 }$일 때, 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$의 극솟값은? (단, $\displaystyle{{{O}}}$는 원점이다.)

곡선 $\displaystyle{y=x^{3}+x}$와 직선 $\displaystyle{y=-x+k}$ 및 $\displaystyle{y}$축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 곡선 $\displaystyle{y=x^{3}+x}$와 직선 $\displaystyle{y=-x+k}$ 및 직선 $\displaystyle{x=1}$로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같을 때, 상수 $\displaystyle{k}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{0<k<3}$)