D145삼차함수와 x축에 접하는 넓이

교재 1문항 · 논술 기출 1문항

핵심

삼차함수가 $x$ 축에 접하면 그 점은 중근이다. $f(x)=a(x-p)^2(x-q)$ 로 개형이 확정되고, 넓이는 이 인수분해된 꼴을 그대로 적분해 구한다.

해법

1접하는 점을 중근으로 두고 $f(x)=a(x-p)^2(x-q)$ 로 놓는다.
2다른 조건으로 $a$ , $p$ , $q$ 를 정한다.
3 $x$ 축과 만나는 두 점 사이를 적분한다.
4부호를 확인해 넓이로 만든다.

공략

· 접점에서는 $f(p)=0$ 이고 $f'(p)=0$ 이다. 두 식을 함께 쓰는 것이 「접한다」의 정확한 번역이다.
· $x$ 축에 접하는 삼차함수는 극값 중 하나가 $0$ 이다. 개형을 그리면 넓이를 구할 구간이 바로 보인다.
· $\displaystyle\int(x-p)^2(x-q)\,dx$ 는 치환하면 계산이 짧아진다. 전개해서 적분하면 계수 실수가 늘어난다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	1	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/92문항	2%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 한국외국어대 3번13점동일개념2023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 6번

꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,2)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(-1,-2)$ , $\displaystyle \mathrm{C}(1,-2)$ , $\displaystyle \mathrm{D}(1,2)$ 인 직사각형의 네 변으로 둘러싸인 도형은 함수 $\displaystyle f(x)=(x+1)(x-a)(x-1)$ 의 그래프에 의해 두 부분으로 나누어진다. 나누어진 부분 중 위쪽과 아래쪽의 넓이를 각각 $\displaystyle S_1$ , $\displaystyle S_2$ 라고 할 때 $\displaystyle S_1:S_2=5:4$ 이다. 이때 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle -1<a<0$ )

교재와 닮은 점 · 둘 다 삼차곡선과 수평선 사이의 넓이를 정적분으로 계산한다. 논술은 직사각형 넓이 16에서 위·아래 두 부분을 ∫_{-1}^{1}f(x)dx=4a/3으로 나눠 S1:S2=5:4에서 a=-1/3을 얻는 점이 다르다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 1개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 25번

$\displaystyle{5 }$ 보다 큰 실수 $\displaystyle{a }$ 에 대하여 최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$ 인 삼차함수 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 의 그래프는 세 점 $\displaystyle{{{P}} \left ( 1,~ 0 \right ) }$ , $\displaystyle{{{Q}} \left ( 5,~ 0 \right ) }$ , $\displaystyle{{{R}} \left ( a,~ 0 \right ) }$ 을 지난다. 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 와 $\displaystyle{y }$ 축 및 선분 $\displaystyle{{{OP}}}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{1}}}$ , 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 와 선분 $\displaystyle{{{PQ}}}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{2}}}$ , 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 와 선분 $\displaystyle{{{QR}}}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{3}}}$ 이라 하자. $\displaystyle{2 S_{{1}}}$ , $\displaystyle{S_{{2}} +a^{{2}}}$ , $\displaystyle{2 S_{{3}}}$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $\displaystyle{f \left ( 6 \right ) }$ 의 값은? (단, $\displaystyle{{{O}}}$ 는 원점이다.)

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