D139넓이의 비가 주어진 도형의 넓이

그림과 같이 $\displaystyle{a\gt 3}$인 상수 $\displaystyle{a }$에 대하여 직선 $\displaystyle{y=ax}$, 곡선 $\displaystyle{y= \dfrac {{1}} {{a}} x^{{2}}}$과 세 점 $\displaystyle{A \left ( 3,~0 \right ) }$, $\displaystyle{B \left ( 3,~3 \right ) }$, $\displaystyle{C \left ( 0,~3 \right ) }$이 있다. 직선 $\displaystyle{y=ax}$와 $\displaystyle{y }$축 및 선분 $\displaystyle{BC}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{1}}}$, 곡선 $\displaystyle{y= \dfrac {{1}} {{a}} x^{{2}}}$과 $\displaystyle{x }$축 및 선분 $\displaystyle{AB}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{2}}}$, 직선 $\displaystyle{y=ax}$, 곡선 $\displaystyle{y= \dfrac {{1}} {{a}} x^{{2}}}$및 두 선분 $\displaystyle{AB}$, $\displaystyle{BC}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{S_{{3}}}$이라 하자. $\displaystyle{S_{{1}}}$, $\displaystyle{S_{{2}}}$, $\displaystyle{S_{{3}}}$이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $\displaystyle{12a}$의 값을 구하시오.

이차함수 $\displaystyle{f(x)=a x(x-1)(a>0)}$과 직선 $\displaystyle{l: y=m(x-1)(m<0)}$에 대하여 그림과 같이 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$와 직선 $\displaystyle{l}$로 둘러싸인 부분(색칠 된 부분)을 $\displaystyle{S}$, 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$와 직선 $\displaystyle{l}$ 및 직선 $\displaystyle{x=a+1}$로 둘러싸인 부분(빗금 친 부분)을 $\displaystyle{T}$라 하자. $\displaystyle{S}$ , $\displaystyle{T}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle{(a-m+2)^{2}}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a, m}$은 상수이다.)

• $\displaystyle{S}$의 넓이는 $\displaystyle{y}$축에 의하여 이등분된다.

• $\displaystyle{S}$의 넓이는 $\displaystyle{T}$의 넓이의 $\displaystyle{2}$ 배이다.

함수 $\displaystyle{f(x)=\left|x^{2}-1\right|}$에 대하여 그림과 같이 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$와 $\displaystyle{x}$축으로 둘러싸인 부분(색칠 된 부분)의 넓이를 $\displaystyle{A}$, 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$와 $\displaystyle{x}$축 및 직선 $\displaystyle{x=k(k>1)}$로 둘러싸인 부분(빗금 친 부분)의 넓이를 $\displaystyle{B}$라 하자. $\displaystyle{A=2 B}$일 때, 상수 $\displaystyle{k}$의 값을 구하시오.