🎨 2025학년도 서경대 논술 기출 (A형)

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{BC}}=2:1$ 이고 $\displaystyle \angle \mathrm{B}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라 하자. $\displaystyle \sin^2(\angle \mathrm{ACM})=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $\displaystyle p-q$ 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.) (10점)

그림과 같이 중심이 각각 점 $\displaystyle \mathrm{O}_1$ , 점 $\displaystyle \mathrm{O}_2$ , 점 $\displaystyle \mathrm{O}_3$ 이고 반지름의 길이가 각각 $\displaystyle r_1$ , $\displaystyle r_2$ , $\displaystyle r_3$ 인 세 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}=r_1+r_2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3}=r_2+r_3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_3}=r_1+2r_2+r_3$

(나) 세 원의 반지름 $\displaystyle r_1$ , $\displaystyle r_2$ , $\displaystyle r_3$ 는 순서대로 등비수열을 이룬다.

(다) 세 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 에 모두 접하는 직선 $\displaystyle l$ 이 존재한다.

그림과 같이 곡선 $\displaystyle y=-x^2+3x$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형을 직선 $\displaystyle y=ax\ (a>0)$ 가 두 영역으로 나눈다. 이때 각각의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , $\displaystyle S_2$ 라 할 때, $\displaystyle 19S_1=8S_2$ 가 되는 $\displaystyle a$ 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 함수 $\displaystyle f(x)=x^4+x^3-2x^2-8x$ , $\displaystyle g(x)=x^3+2x^2+8x+k$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f(x)\le g(x)$ 를 만족시키는 정수 $\displaystyle x$ 의 개수가 3이 되도록 하는 모든 정수 $\displaystyle k$ 의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)