D136정적분으로 정의된 함수의 최대 최소

교재 3문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$g(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ 의 증감은 $g'(x)=f(x)$ 의 부호로 정해진다. 적분으로 정의된 함수의 최대·최소는 피적분함수의 부호가 바뀌는 자리에서 나온다.

해법

1 $g'(x)=f(x)$ 로 놓고 $f(x)=0$ 의 근을 구한다.
2 $f$ 의 부호로 $g$ 의 증감표를 만든다.
3극값이 되는 점에서 실제 정적분을 계산한다.
4구간의 끝점 값과 비교해 최대·최소를 정한다.

공략

· $g$ 를 먼저 적분해 식으로 구할 필요가 없다. 증감은 $f$ 의 부호만으로 정해지므로 필요한 점에서만 적분한다.
· $f$ 가 양에서 음으로 바뀌면 $g$ 는 극대다. 부호의 방향과 극대·극소를 반대로 쓰는 실수가 잦다.
· $\displaystyle\int_a^af=0$ 이므로 $g(a)=0$ 이다. 이 기준점을 표에 적어 두면 극값의 부호를 판단하기 쉽다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	1	2	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	1%/92문항	3%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 12번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34제 31번

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f(-1)$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle f(x)$ 의 계수는 모두 정수이다.) (10점)(가) $\displaystyle x\ge 1$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle x^2<f\left(\dfrac{x-1}{6}\right)$ 을 만족시킨다.(나) $\displaystyle x\ge 2$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f\left(\dfrac{x-2}{6}\right)<x^2$ 을 만족시킨다.(다) 함수 $\displaystyle \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 는 $\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}$ 에서 극값을 갖는다.

교재와 닮은 점 · 부등식 조건으로 다항함수의 계수 범위를 좁히고 ∫_0^x f(t)dt의 극값·최소 조건을 결합해 특정 함숫값의 최대·최소를 구하는 구성이 같다.

다른 점 · 수특은 ∫_t^{t+2} f'(x)dx의 범위를 쓰지만, 논술은 두 부등식과 함수의 극한의 대소 관계로 최고차항 계수 36과 정수 조건까지 확정한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 3개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 6번

다항함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{1}}^{{x}} \left ( t-1 \right ) f \left ( t \right ) dt=ax^{{4}} +bx^{{2}} +1}$ 을 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 의 최솟값은? (단, $\displaystyle{a }$ , $\displaystyle{b }$ 는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

다음 조건을 만족시키는 실수 전체의 집합에서 연속인 모든 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 에 대하여 $\displaystyle{\int_{-2}^{2} f(x) d x}$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 $\displaystyle{\{f(x)+x\}\{f(x)-x\}=x^{4}-3 x^{2}+1}$ 이다.
$\displaystyle{x \leq 1}$ 인 모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 $\displaystyle{f(x)-\int_{1}^{x} f(t) d t \geq 0}$ 이다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 31번

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( 6 \right ) }$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

모든 실수 $\displaystyle{t }$ 에 대하여 $\displaystyle{4 \le \displaystyle \int_{{t}}^{{t+2}} f ' \left ( x \right ) dx \le 10}$ 을 만족시킨다.
함수 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{0}}^{{x}} f \left ( t \right ) dt}$ 는 $\displaystyle{x=3}$ 에서 최소이다.

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