← 수학Ⅱ 다항함수의 적분법

D132적분구간이 변수인 미분계수의 결정

교재 5문항 · 논술 기출 1문항

핵심

ddx∫axf(t) dt=f(x)\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x) 이므로, 적분 구간에 변수가 들어간 함수의 미분계수는 피적분함수의 값이다. 구간의 양 끝이 모두 변수면 각각 미분해 빼 준다.

해법

  1. 1적분으로 정의된 함수를 g(x)g(x) 로 놓는다.
  2. 2g′(x)g'(x) 를 기본 정리로 바로 쓴다. 위끝이 h(x)h(x) 면 f(h(x))h′(x)f(h(x))h'(x) 가 된다.
  3. 3필요한 점에서 g′g' 의 값을 계산한다.
  4. 4구간이 한 점으로 만나는 xx 에서 g=0g=0 임을 함께 쓴다.

공략

  • · ∫xx+1f(t) dt\displaystyle\int_x^{x+1}f(t)\,dt 의 도함수는 f(x+1)−f(x)f(x+1)-f(x) 다. 두 끝을 각각 미분해 빼는 것이 규칙이다.
  • · lim⁡x→a1x−a∫axf(t) dt=f(a)\lim_{x\to a}\dfrac1{x-a}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(a) — 미분계수의 정의와 기본 정리를 합치면 이 형태가 바로 나온다. 극한 문제에서 자주 쓰인다.
  • · 적분 안에 xx 와 tt 가 섞여 있으면 xx 를 상수로 보고 밖으로 꺼낸 뒤 곱의 미분법을 쓴다. 꺼내지 않고 미분하면 틀린다.
학년도202520262027
교재 문항 수32—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)3%/92문항3%/62문항0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 상명대 8번10점동일개념2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

함수 f(x)={−x2+1(0≤x<1)3x2−3(1≤x≤3)\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x^2+1 & (0\le x<1) \\[2pt] 3x^2-3 & (1\le x\le 3)\end{cases} 라 하자.(1) ∫0af(x) dx=143\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\dfrac{14}{3} 인 a\displaystyle a 의 값을 구하시오.(2) 0<x≤2\displaystyle 0<x\le 2 에서 S(x)=∫xx+1f(t) dt\displaystyle S(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}f(t)\,dt 일 때, S(x)\displaystyle S(x) 를 구하시오.(3) 함수 S(x)\displaystyle S(x) 가 x=b\displaystyle x=b 에서 최소일 때, b\displaystyle b 의 값을 구하시오. (10점)① a=\displaystyle a= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (1.7점)② S(x)=\displaystyle S(x)= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.6점)③ b\displaystyle b 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (4.7점)

교재와 닮은 점 · 교재는 ∫_x^{x+1}{f(t)-2t}dt 꼴, 논술은 S(x)=∫_x^{x+1}f(t)dt를 다룬다. 적분구간이 변수인 정적분을 구간을 쪼개 계산하고 x로 미분해 증감을 보는 개념이 같다.

다른 점 · 논술은 피적분함수가 조각함수라 0<x<1과 1≤x≤2로 나눠 S(x)를 만들고 최솟값을 주는 b를 찾는다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 20번

다항함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }가 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여∫1xf(t)dt=2x3+ax+b\displaystyle{\displaystyle \int_{{1}}^{{x}} f \left ( t \right ) dt=2x^{{3}} +ax+b} 를 만족시킨다. f(1)=7\displaystyle{f \left ( 1 \right ) =7}일 때, f(b)\displaystyle{f \left ( b \right ) }의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle{a }, b\displaystyle{b }는 상수이다.)

2025학년도 완성수학Ⅱ 06. 다항함수의 적분법 11번

다항함수 f(x)\displaystyle f \left ( x \right ) 가 모든 실수 x\displaystyle x 에 대하여

(1−x)f(x)\displaystyle \left ( 1-x \right ) f \left ( x \right ) =x3−6x2+9x−∫−1xf(t)dt\displaystyle =x^{{3}} -6x^{{2}} +9x- \displaystyle \int_{{-1}}^{{x}} {f \left ( t \right ) dt}

를 만족시킬 때, f(1)\displaystyle f \left ( 1 \right ) 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 25번

연속함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }가 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여∫x−1x+1{f(t)+2t}dt=6x2+4\displaystyle{\displaystyle \int_{{x-1}}^{{x+1}} \left \{ f \left ( t \right ) +2t \right \} dt=6x^{{2}} +4} 를 만족시킨다. ∫23f(t)dt=5∫−10f(t)dt\displaystyle{\displaystyle \int_{{2}}^{{3}} f \left ( t \right ) dt=5 \displaystyle \int_{{-1}}^{{0}} f \left ( t \right ) dt}일 때, ∫12f(x)dx\displaystyle{\displaystyle \int_{{1}}^{{2}} f \left ( x \right ) dx}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

다항함수 f(x)\displaystyle{f(x)}가 모든 실수 x\displaystyle{x} 에 대하여

∫−1xxf(t)dt−∫−1xtf(t)dt=x4+(a−1)x2−a\displaystyle{\\ \int_{-1}^{x} x f(t) d t-\int_{-1}^{x} t f(t) d t=x^{4}+(a-1) x^{2}-a\\}

를 만족시킬 때, f(a)\displaystyle{f(a)}의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle{a}는 상수이다.)

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