D119접선의 기울기가 주어진 경우의 부정적분

교재 1문항 · 논술 기출 1문항

핵심

접선의 기울기가 $f'(x)$ 로 주어지면 적분해서 $f$ 를 얻고, 지나는 점으로 적분상수를 정한다. 「곡선 위의 점 $(x,y)$ 에서의 접선의 기울기가 $\cdots$ 」는 곧 도함수를 준 것이다.

해법

1접선의 기울기 조건을 $f'(x)=(\text{식})$ 으로 옮겨 적는다.
2적분해 $f(x)+C$ 를 구한다.
3지나는 점을 대입해 $C$ 를 정한다.
4묻는 값을 계산한다.

공략

· 「점 $(1,3)$ 을 지난다」가 적분상수를 정하는 조건이다. 이 조건 없이는 곡선이 하나로 정해지지 않는다.
· 극값을 갖는다는 조건이 함께 나오면 $f'=0$ 인 점을 하나 더 얻는다. 미지수가 둘이면 조건도 둘 필요하다.
· 적분한 직후 $+C$ 를 쓰는 습관이 그대로 점수다. 이 한 글자를 빠뜨려 틀리는 답안이 가장 많다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	1	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/92문항	2%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 서경대 8번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34제 23번

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건 (가)와 (나)를 만족시킨다.(가) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ f(t))$ 에서 접선의 기울기가 $\displaystyle t^2-3a$ 이다. (단, $\displaystyle a$ 는 상수)(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x=-1$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 접한다.다음에 답하시오. (10점)① $\displaystyle a=$ ________ (답만 쓰시오. 2점).② $\displaystyle f(x)=$ __________ (답만 쓰시오. 3점).③ 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 5점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 23번은 '곡선 위 임의의 점에서 접선의 기울기가 x²+a' 이고 '곡선이 (3,f(3))에서 x축에 접한다'는 두 조건으로 f를 결정한다. 논술은 기울기 t²-3a, 접점 x=-1 로 바꾼 같은 조건이다.

다른 점 · 교재는 극댓값을 묻지만 논술은 f(x)를 인수분해해 x축과 둘러싸인 넓이를 정적분으로 구하게 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 1개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 23번

다항함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 의 극댓값을 구하시오.

곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 위의 임의의 점 $\displaystyle{\left ( x,~ f \left ( x \right ) \right ) }$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle{x^{{2}} +a}$ ( $\displaystyle{a }$ 는 상수)이다.
곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 가 점 $\displaystyle{\left ( 3,~ f \left ( 3 \right ) \right ) }$ 에서 $\displaystyle{x }$ 축에 접한다.

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