← 수학Ⅱ 다항함수의 적분법

D118함수와 그 부정적분의 관계식

교재 2문항 · 논술 기출 1문항

핵심

F(x)=∫f(x) dxF(x)=\displaystyle\int f(x)\,dx 이면 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) 다. FF 와 ff 가 한 식에 섞여 나오면 양변을 미분해 ff 만의 식으로 바꾸는 것이 첫 수다.

해법

  1. 1주어진 관계식의 양변을 미분한다. FF 는 ff 가 되고 ff 는 f′f' 가 된다.
  2. 2ff 의 차수를 양변 비교로 정한다.
  3. 3계수를 비교해 ff 를 확정한다.
  4. 4원래 식에 대입해 적분상수까지 정한다.

공략

  • · xf(x)=F(x)+x3xf(x)=F(x)+x^3 같은 식은 미분하면 f(x)+xf′(x)=f(x)+3x2f(x)+xf'(x)=f(x)+3x^2 가 되어 f′f' 가 바로 나온다. 곱의 미분법을 잊지 말 것.
  • · 미분한 뒤 얻은 식은 필요조건이다. 구한 ff 를 원래 식에 되돌려 넣어 확인하는 줄이 필요하다.
  • · x=0x=0 을 대입하면 적분상수가 정해지는 경우가 많다. 미분과 대입, 두 수를 함께 쓴다.
학년도202520262027
교재 문항 수—2—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)0%/92문항3%/62문항0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 13번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34제 26번

다항함수 f(x)\displaystyle f(x) 의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x) 라 하자. 모든 실수 x\displaystyle x 에 대하여 F(x)=x2f(x)−2x4+ax+1\displaystyle F(x)=x^2 f(x)-2x^4+ax+1 이 성립할 때, F(2af′(0))\displaystyle F\left(\dfrac{2}{a f'(0)}\right) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a\displaystyle a 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · F(x)=x^2 f(x)+(사차식)+(일차식) 관계식을 미분해 f의 차수와 계수를 정한 뒤 특정 값에서의 F를 구하는 과정이 그대로 같다.

다른 점 · 수특은 F(x)=x^2f(x)+x^4+kx에서 F(1/k)를, 논술은 F(x)=x^2f(x)-2x^4+ax+1에서 F(2/(af'(0)))를 묻는 수치 차이다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 2개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 3번

다항함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle{F \left ( x \right ) }라 하면 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여F(x)=xf(x)−3x4+x2\displaystyle{F \left ( x \right ) =xf \left ( x \right ) -3x^{{4}} +x^{{2}}}이 성립한다. F(1)=5\displaystyle{F \left ( 1 \right ) =5}일 때, f(−1)\displaystyle{f \left ( -1 \right ) }의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 26번

다항함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle{F \left ( x \right ) }라 하자. 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여F(x)=x2f(x)+x4+kx\displaystyle{F \left ( x \right ) =x^{{2}} f \left ( x \right ) +x^{{4}} +kx}가 성립할 때, F(1k)\displaystyle{F \left ( \dfrac {{1}} {{k}} \right ) }의 값을 구하시오. (단, k\displaystyle{k }는 상수이다.)

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