D109속도 v(t) 그래프의 해석

교재 1문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$v(t)$ 의 그래프에서 넓이는 위치의 변화량이고, 기울기는 가속도다. 위치는 $\displaystyle\int v\,dt$ , 움직인 거리는 $\displaystyle\int|v|\,dt$ — 둘을 구분하는 것이 이 유형의 핵심이다.

해법

1 $v=0$ 이 되는 시각을 찾는다. 방향이 바뀌는 자리다.
2위치의 변화를 물으면 부호를 살려 넓이를 더한다.
3움직인 거리를 물으면 모든 넓이를 양수로 더한다.
4가속도를 물으면 그래프의 기울기를 읽는다.

공략

· 「위치의 변화량」과 「움직인 거리」는 다르다. $v$ 가 음인 구간이 있으면 두 값이 갈린다 — 발문을 정확히 읽는 것이 절반이다.
· $v=0$ 인 시각이 반드시 방향 전환은 아니다. 부호가 바뀌어야 방향이 바뀐다. $v$ 가 $0$ 에 닿았다 같은 부호로 돌아가면 계속 같은 방향이다.
· 출발점으로 돌아오는 시각은 $\displaystyle\int_0^tv\,ds=0$ 이 되는 $t$ 다. 넓이의 합이 $0$ 이라는 그림으로 읽으면 빠르다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	1	—	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	1%/123문항	0%/92문항	0%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국공학대 9번15점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{5}{2}t^3+6t^2+kt$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 시각 $\displaystyle t=2$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도는 $\displaystyle 0$ 보다 작다.(나) 시각 $\displaystyle t=p$ 와 $\displaystyle t=q\ (0<p<q)$ 일 때만 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도가 $\displaystyle \frac{5}{2}$ 이다.시각 $\displaystyle t=q$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ , $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (15점)

교재와 닮은 점 · 위치가 x=(1/4)t⁴+···+kt 꼴이고 t=p, q에서만 속도가 특정 값이며 어느 시각의 속도가 음수라는 조건으로 k를 정해 t=q의 가속도를 구하는 구성이 그대로 같다. 계수와 속도값만 다르다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 1개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2025학년도 특강수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2) 0번

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle{\mathrm{P}}$ 의 시각 $\displaystyle{t(t>0)}$ 에서의 위치 $\displaystyle{x}$ 가 $\displaystyle{\\ x=\frac{1}{4} t^{4}-2 t^{3}+\frac{9}{2} t^{2}+k t\\}$ 이다. 시각 $\displaystyle{t=p}$ 와 $\displaystyle{t=q(0<p<q)}$ 에서만 점 $\displaystyle{\mathrm{P}}$ 의 속도가 $\displaystyle{2}$ 이고 시각 $\displaystyle{t=3}$ 에서의 점 $\displaystyle{\mathrm{P}}$ 의 속도가 $\displaystyle{0}$ 보다 작을 때, 시각 $\displaystyle{t=q}$ 에서의 점 $\displaystyle{\mathrm{P}}$ 의 가속도를 구하시오. (단, $\displaystyle{k, p, q}$ 는 상수이다.)

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