D098두 곡선의 교점의 개수

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

두 곡선의 교점의 개수는 $f(x)-g(x)=0$ 의 실근의 개수다. 차를 새로운 함수로 놓고 그 그래프와 $x$ 축의 교점을 세는 것으로 문제가 하나로 통일된다.

해법

1 $h(x)=f(x)-g(x)$ 로 놓는다.
2 $h'(x)$ 로 증감표를 그려 극값을 구한다.
3극댓값과 극솟값의 부호로 $x$ 축과 몇 번 만나는지 판정한다.
4미지수가 있으면 극값의 부호 조건을 부등식으로 쓴다.

공략

· 삼차함수 $h$ 가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 (극댓값) $\times$ (극솟값) $<0$ 이다. 이 한 줄이 대부분의 답을 만든다.
· $k$ 를 분리할 수 있으면 $h(x)=k$ 꼴로 만들어 수평선과의 교점으로 보는 편이 훨씬 쉽다. 상수를 한쪽으로 몰 수 있는지 먼저 살핀다.
· 접하는 경우는 중근이라 교점 개수가 하나 줄어든다. 경계값을 포함할지 말지를 문제의 부등호와 맞춰 확인할 것.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	4	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/123문항	4%/92문항	0%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 15번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 31제 27번

실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=(x-2)(x-a)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하자. $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle F(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 일 때, $\displaystyle F(0)$ 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle 2<a\le 6$ )

교재와 닮은 점 · 삼차함수의 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 방정식의 서로 다른 실근이 2개라는 판정을 그대로 쓴다.

다른 점 · 수특은 그 조건에서 k값을 구하는 데서 끝나지만, 논술은 f=(x-2)(x-a)의 부정적분 F를 세워 적분상수 F(0)의 최솟값까지 두 경우로 나눠 비교한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 4번

$\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle x^{{3}} -x^{{2}} -9x=2x^{{2}} +k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 3$ 이 되도록 하는 정수 $\displaystyle k$ 의 개수는?

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 5번

두 함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{3}} -2x^{{2}} -k$ , $\displaystyle g \left ( x \right ) =4x^{{2}} -9x+k$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f \left ( x \right ) =g \left ( x \right )$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 양수 $\displaystyle k$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 15번

두 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{4}} +5x^{{3}} +9x^{{2}} +14x-2}$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) =x^{{3}} -x^{{2}} +2x-a}$ 가 있다. 두 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$ 의 교점이 존재하기 위한 실수 $\displaystyle{a }$ 의 최댓값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 27번

두 함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =2x^{{3}} -kx$ , $\displaystyle g \left ( x \right ) = -x^{{3}} +6$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f \left ( x \right ) =g \left ( x \right )$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.

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