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D097사차방정식 f(x)=k의 실근의 개수

교재 7문항 · 논술 기출 1문항

핵심

f(x)=kf(x)=k 의 실근의 개수는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 수평선 y=ky=k 의 교점 개수다. 사차함수는 극값이 하나이거나 셋이므로, 개형을 먼저 정하는 것이 순서다.

해법

  1. 1f′(x)f'(x) 를 인수분해해 극값이 몇 개인지 정한다.
  2. 2극댓값과 극솟값을 계산해 개형을 그린다.
  3. 3수평선을 올리며 교점 개수가 바뀌는 kk 를 극값에서 읽는다.
  4. 4조건에 맞는 kk 의 범위를 쓴다.

공략

  • · 최고차항이 양수인 사차함수는 극솟값이 둘, 극댓값이 하나이거나(W 꼴), 극솟값 하나뿐(U 꼴)이다. f′f' 의 근이 세 개인지 하나인지가 갈림길이다.
  • · 두 극솟값이 같으면 그 높이에서 교점이 둘, 그 위에서는 둘, 사이에서는 넷이 된다. 극솟값이 서로 다른 경우와 개수가 달라지므로 반드시 비교한다.
  • · 실근의 개수를 kk 의 함수로 표로 정리해 두면 「개수가 33 인 kk」 같은 물음에 바로 답할 수 있다.
학년도202520262027
교재 문항 수52—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)4%/123문항2%/92문항0%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 한국기술교육대 3번8점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

함수 f(x)=∣x3−12x∣\displaystyle f(x)=\left|x^3-12x\right| 에 대하여 x\displaystyle x 에 대한 방정식 f(x)=k\displaystyle f(x)=k 의 서로 다른 실근의 개수가 4가 되도록 하는 실수 k\displaystyle k 의 값을 구하시오. (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+10의 그래프와 y=k의 교점이 3개인 k, 논술은 f(x)=|x^3-12x|와 y=k의 교점이 4개인 k를 묻는다. 극값을 구해 그래프 개형을 그리고 수평선과의 교점 개수가 바뀌는 높이를 찾는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 절댓값을 씌워 x축 아래를 접어 올린 개형을 다뤄야 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 6번

x\displaystyle{x }에 대한 방정식 −3x4−4x3+12x2−24=k\displaystyle{-3x^{{4}} -4x^{{3}} +12x^{{2}} -24=k}가 오직 하나의 실근을 가지도록 하는 상수 k\displaystyle{k }의 값을 구하시오.

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 19번

양수 a\displaystyle a 와 함수 f(x)=a(x+2)2(x−2)2\displaystyle f(x)=a(x+ 2)^{{2}} (x-2)^{{2}}에 대하여 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 직선 y=4\displaystyle y=4가 만나는 서로 다른 점의 개수가 3\displaystyle 3 일 때, f(4a)\displaystyle f(4a)의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 16번

함수 f(x)=x4−4x3+4x2−1\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{4}} -4x^{{3}} +4x^{{2}} -1과 실수 k\displaystyle k 에 대하여 x\displaystyle x 에 대한 방정식 f(x)−k=0\displaystyle f \left ( x \right ) -k=0의 서로 다른 실근의 개수를 g(k)\displaystyle g \left ( k \right ) 라 하자. g(−12)+g(0)+g(4)\displaystyle g \left ( - \dfrac {{1}} {{2}} \right ) +g \left ( 0 \right ) +g \left ( 4 \right ) 의 값은?

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 21번

함수 f(x)=3x4−4x3−12x2+k\displaystyle f(x)=3x^{{4}} -4x^{{3}} -12x^{{2}} +k에 대하여 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 x\displaystyle x 축이 서로 다른 세 점 A(a, 0)\displaystyle {A} (a,~0), B(b, 0)\displaystyle {B} (b,~0), C(c, 0)\displaystyle {C} (c,~0) (a<b<c\displaystyle a\lt b\lt c)에서만 만난다. abc<0\displaystyle abc\lt 0일 때, f(kabc)\displaystyle f \left ( \dfrac {{k}} {{abc}} \right ) 의 값은?

(단, k\displaystyle k 는 상수이다.)

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