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D091최대 최소를 이용한 미정계수의 결정

교재 7문항 · 논술 기출 1문항

핵심

닫힌구간에서 연속인 함수의 최댓값·최솟값은 극값이거나 구간의 끝점 값이다. 미정계수는 「최댓값이 MM 이다」를 그 후보들 중 하나와 같다고 놓아 정한다.

해법

  1. 1f′(x)=0f'(x)=0 의 근 중 구간 안에 있는 것만 고른다.
  2. 2그 점들의 함숫값과 양 끝점의 함숫값을 모두 계산한다.
  3. 3가장 큰 것을 최댓값, 작은 것을 최솟값으로 놓고 조건과 맞춘다.
  4. 4미지수가 구간 안팎을 가르면 경우를 나눈다.

공략

  • · 극값이 구간 밖이면 최대·최소는 끝점에서만 나온다. 근이 구간에 포함되는지 확인하는 줄을 반드시 쓴다.
  • · 미정계수가 구간의 위치를 바꾸면 경우를 나눠야 한다. 「a<0a<0 일 때」, 「0≤a≤20\le a\le2 일 때」처럼 갈라 쓰는 서술이 곧 배점이다.
  • · 최댓값과 최솟값의 합이나 차가 주어지는 형식이 흔하다. 두 후보를 문자로 적어 두고 식 하나로 처리한다.
학년도202520262027
교재 문항 수25—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)2%/123문항5%/92문항0%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 10번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 31제 14번

실수 t (0≤t≤3)\displaystyle t\ (0\le t\le 3) 에 대하여 점 (t, 27−t3)\displaystyle \left(t,\ \sqrt{27-t^3}\right) 과 원점 사이의 거리의 제곱을 f(t)\displaystyle f(t) 라 하자. 닫힌구간 [0, 3]\displaystyle [0,\ 3] 에서 함수 f(t)\displaystyle f(t) 의 최댓값과 최솟값을 각각 M\displaystyle M , m\displaystyle m 이라 할 때, M×m\displaystyle M\times m 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

교재와 닮은 점 · 닫힌구간 [0, 3]에서 삼차함수의 f'=0인 점과 양 끝점의 함숫값을 비교해 최댓값·최솟값을 구하는 같은 정리를 쓴다.

다른 점 · 수특은 최대·최소가 주어지고 계수 a, b를 역으로 구하지만, 논술은 거리의 제곱으로 f(t)=-t^3+t^2+27을 만든 뒤 M, m을 직접 구한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 2번

닫힌구간 [−1, 4]\displaystyle{\left [ -1,~ 4 \right ] }에서 함수 f(x)=−x3+9x2−15x+a\displaystyle{f \left ( x \right ) = -x^{{3}} +9x^{{2}} -15x+a}의 최댓값이 45\displaystyle{45}이고 최솟값이 m\displaystyle{m }일 때, am\displaystyle{am}의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle{a }는 상수이다.)

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 23번

닫힌구간 [a, −1]\displaystyle \left [ a,~-1 \right ] 에서 함수 f(x)=x4−14x2−24x\displaystyle f(x)=x^{{4}} -14x^{{2}} -24x의 최댓값이 11\displaystyle 11, 최솟값이 8\displaystyle 8 이 되도록 하는 실수 a\displaystyle a 의 최댓값과 최솟값을 각각 M\displaystyle M , m\displaystyle m 이라 하자. M+m\displaystyle M +m의 값은? (단, a<−1\displaystyle a\lt -1)

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 3번

0<a≤4\displaystyle{0 \lt a \le 4}인 상수 a\displaystyle{a }에 대하여 닫힌구간 [−a2, a2]\displaystyle{\left [ - \dfrac {{a}} {{2}} ,~ \dfrac {{a}} {{2}} \right ] }에서 함수 f(x)=3x4−4x3−36x2+a\displaystyle{f \left ( x \right ) =3x^{{4}} -4x^{{3}} -36x^{{2}} +a}의 최댓값이 2\displaystyle{2 }이고 최솟값이 m\displaystyle{m }일 때, a−m\displaystyle{a-m}의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 13번

닫힌구간 [0, 2]\displaystyle \left [ 0,~ 2 \right ] 에서 함수 f(x)=−3x4+4x3+k\displaystyle f \left ( x \right ) = -3x^{{4}} +4x^{{3}} +k의 최댓값과 최솟값의 합이 0\displaystyle 0 이 되도록 하는 상수 k\displaystyle k 의 값은?

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