D067곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 모르는 상태에서 시작한다. 접점을 $(t,f(t))$ 로 두고 접선이 그 점을 지난다는 조건으로 $t$ 를 구하는 것이 유일한 절차다.

해법

1접점을 $(t,f(t))$ 로 놓고 접선의 방정식을 쓴다.
2주어진 점의 좌표를 그 식에 대입한다.
3 $t$ 에 대한 방정식을 풀어 접점을 모두 구한다.
4각 $t$ 마다 접선의 방정식을 완성한다.

공략

· 주어진 점이 곡선 위에 있는지 먼저 확인한다. 위에 있으면 그 점 자체가 접점인 접선이 하나 더 있다.
· $t$ 의 방정식이 몇 개의 실근을 갖느냐가 곧 접선의 개수다. 「접선을 세 개 그을 수 있다」는 조건은 이 방정식의 근의 개수 조건으로 바뀐다.
· 접점의 $x$ 좌표를 $t$ 로 두는 것과 접선의 기울기를 $m$ 으로 두는 것은 다른 풀이다. 다항함수에서는 접점을 잡는 쪽이 거의 항상 빠르다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	3	1
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/123문항	3%/92문항	1%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 11번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 31제 14번

사차함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac{5}{16}x^4-\dfrac{5}{2}x^2+4$ 가 있다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle |f(x)|=t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{t\to 1+}g(t)+\lim\limits_{t\to 1-}g(t)+g(1)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 사차함수의 그래프와 매개변수 직선의 교점 개수를 g(t)로 놓고 불연속이 되는 t에서의 좌·우극한을 비교하는 개념이 같다.

다른 점 · 수특은 곡선 밖의 점에서 그은 접선(기울기 t)을 다루지만, 논술은 y=|f(x)|와 수평선 y=t의 교점이라 절댓값 그래프 개형이 핵심이다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 21번

점 $\displaystyle \left ( -2,~1 \right )$ 에서 곡선 $\displaystyle y=2x^{{3}} +kx^{{2}} +1$ 에 그은 접선의 개수가 $\displaystyle 1$ 이 되도록 하는 정수 $\displaystyle k$ 의 개수를 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 3번

직선 $\displaystyle{y=mx}$ 가 곡선 $\displaystyle{y= -x^{{3}} +2x^{{2}} -8}$ 에 접할 때, 상수 $\displaystyle{m }$ 의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 14번

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) = -x^{{4}} +1$ 과 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f \left ( x \right )$ 와 직선 $\displaystyle y=tx+ \dfrac {{4}} {{3}}$ 가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $\displaystyle g \left ( t \right )$ 라 하자. $\displaystyle \lim \limits _{{t \rightarrow m+}} g \left ( t \right ) =0$ , $\displaystyle \lim \limits _{{t \rightarrow m-}} g \left ( t \right ) =2$ 를 만족시키는 상수 $\displaystyle m$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 23번

$\displaystyle{-2 \lt a \lt 2}$ 인 실수 $\displaystyle{a }$ 와 함수

$\displaystyle{f \left ( x \right ) = \begin{cases} ~~ x^{{2}} +4x & \left ( x \lt 0 \right ) \\ -x^{{2}} +4x & \left ( x \ge 0 \right ) \end{cases}}$

에 대하여 두 점 $\displaystyle{\left ( -2,~ f \left ( -2 \right ) \right ) }$ , $\displaystyle{\left ( a,~ f \left ( a \right ) \right ) }$ 를 지나는 직선에 평행하고 함수 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 의 그래프에 접하는 직선 중 접점의 $\displaystyle{x }$ 좌표가 열린구간 $\displaystyle{\left ( -2,~ a \right ) }$ 에 존재하는 서로 다른 직선의 개수를 $\displaystyle{g \left ( a \right ) }$ 라 하자. $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow m-}} g \left ( x \right ) =1}$ , $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow m+}} g \left ( x \right ) =2}$ 를 만족시키는 상수 $\displaystyle{m }$ 의 값은?

(단, $\displaystyle{-2 \lt m \lt 2}$ )

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