D062접선의 방정식과 도형의 넓이

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

접선은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 다. 접선과 좌표축이 만드는 도형의 넓이를 묻는 문제는 절편을 구하는 문제로 바뀐다.

해법

1접점을 $(a,f(a))$ 로 두고 접선의 방정식을 쓴다.
2 $y=0$ , $x=0$ 을 대입해 두 절편을 구한다.
3넓이를 절편들의 식으로 나타낸다.
4최대·최소를 물으면 그 식을 $a$ 에 대해 미분한다.

공략

· $x$ 절편은 $a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}$ , $y$ 절편은 $f(a)-af'(a)$ 다. 두 식을 외워 두면 접선의 방정식을 거치지 않아도 된다.
· 넓이는 절댓값이다. 절편의 부호가 바뀌는 구간이 있으면 경우를 나눠야 한다.
· 접점이 움직이며 넓이의 최솟값을 묻는 형식이 흔하다. 넓이를 $a$ 의 함수로 쓴 뒤 미분하는 두 단계 구조를 기억할 것.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	1	3
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/123문항	1%/92문항	3%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국기술교육대 4번8점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 31제 21번

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(2,\ f(2)\right)$ 에서의 접선을 $\displaystyle l$ , 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{8}x^3 f(x)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(2,\ g(2)\right)$ 를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 $\displaystyle m$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식이 $\displaystyle y=-3x+9$ 일 때, 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 점(1,f(1))의 접선 l과 g=x^3f(x)의 접선 m, l:y=-3x+5로 둘러싸인 넓이, 논술은 점(2,f(2))와 g=(1/8)x^3f(x), l:y=-3x+9로 같은 넓이를 묻는다. 곱의 미분으로 g'(a)를 구해 두 직선의 x절편을 잡는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 접선 m 대신 그 점에서 접선에 수직인 직선을 쓰게 해 기울기를 음의 역수로 바꾸는 단계를 더했다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 1번

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =2x^{{3}} + \sqrt {3} x+3$ 에 대하여 기울기가 양수이고 $\displaystyle x$ 축과 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle \dfrac {{\pi }} {{3}}$ 인 직선 $\displaystyle l$ 이 곡선 $\displaystyle y=f \left ( x \right )$ 와 접한다. 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

2026학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 21번

다항함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f \left ( x \right )$ 위의 점 $\displaystyle \left ( 1,~ f \left ( 1 \right ) \right )$ 에서의 접선을 $\displaystyle l$ , 함수 $\displaystyle g \left ( x \right ) =x^{{3}} f \left ( x \right )$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=g \left ( x \right )$ 위의 점 $\displaystyle \left ( 1,~ g \left ( 1 \right ) \right )$ 에서의 접선을 $\displaystyle m$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식이 $\displaystyle y= -3x+5$ 일 때, 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 19번

곡선 $\displaystyle y=ax^{{3}} +bx+3$ 위의 점 $\displaystyle A \left ( 1,~6 \right )$ 에서의 접선이 점 $\displaystyle B \left ( 0,~2 \right )$ 를 지난다. 이 곡선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle {{C}}$ 라 할 때, 삼각형 $\displaystyle {{ABC}}$ 의 넓이는? (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.)

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 26번

그림과 같이 최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$ 인 삼차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( 0 \right ) =1}$ 이고 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 가 직선 $\displaystyle{y= -x+ \dfrac {{3}} {{2}}}$ 에 접한다. 실수 $\displaystyle{t }$ 에 대하여 좌표평면 위의 세 점

$\displaystyle{A \left ( -1,~0 \right ) }$ , $\displaystyle{B \left ( 0,~-1 \right ) }$ , $\displaystyle{P \left ( t,~f \left ( t \right ) \right ) }$

가 있다. 세 선분 $\displaystyle{{{AB}}}$ , $\displaystyle{{{AP}}}$ , $\displaystyle{{{BP}}}$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle{g \left ( t \right ) }$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$ 가 $\displaystyle{x }$ 축과 만나는 점의 개수는 $\displaystyle{1 }$ 이다.
양수 $\displaystyle{p }$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$ 는 직선 $\displaystyle{y=1}$ 과 점 $\displaystyle{\left ( p,~g \left ( p \right ) \right ) }$ 에서 접한다.

이때 $\displaystyle{g \left ( \dfrac {{3}} {{2}} \right ) }$ 의 값은? (단, 점 $\displaystyle{{{P}}}$ 가 선분 $\displaystyle{{{AB}}}$ 위의 점일 때 $\displaystyle{g \left ( t \right ) =0}$ 이다.)

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