← 수학Ⅱ 다항함수의 미분법

D040미분계수를 이용한 극한값 계산3년 연속

교재 11문항 · 논술 기출 1문항

핵심

lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a). 00\dfrac00 꼴 극한을 만나면 계산하지 말고 먼저 이 정의 꼴로 맞출 수 있는지 본다.

해법

  1. 1분모를 x−ax-a 또는 hh 로 맞춘다.
  2. 2분자를 f(□)−f(a)f(\square)-f(a) 꼴로 정리한다. 없는 항은 더하고 빼서 만든다.
  3. 3증분이 몇 배인지 확인해 그만큼 곱한다.
  4. 4f′(a)f'(a) 값을 대입한다.

공략

  • · lim⁡h→0f(a+3h)−f(a−2h)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+3h)-f(a-2h)}h 는 f(a)f(a) 를 더하고 빼서 두 조각으로 갈라 3f′(a)+2f′(a)=5f′(a)3f'(a)+2f'(a)=5f'(a) 가 된다. 이 분해가 이 유형의 표준 기술이다.
  • · 분모가 x2−a2x^2-a^2 처럼 인수분해되면 1x+a\dfrac1{x+a} 가 남는다. 남은 인수의 극한값을 곱하는 것을 잊지 말 것.
  • · 미분해서 대입하는 것보다 정의로 읽는 편이 빠른 경우가 많다. 특히 ff 가 구체적으로 주어지지 않은 문제에서는 정의가 유일한 길이다.
학년도202520262027
교재 문항 수137
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)1%/123문항3%/92문항7%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국공학대 9번15점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 30제 8번

최고차항의 계수가 1\displaystyle 1 이고 상수항이 k\displaystyle k 인 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x) 는 x=3\displaystyle x=3 에서 극솟값을 갖는다.(나) 집합 { x | lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=−12 }\displaystyle \left\{\,x \ \middle|\ \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-12 \,\right\} 의 원소의 개수는 1\displaystyle 1 이다.곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 가 x\displaystyle x 축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 k\displaystyle k 의 최댓값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 h->0 극한식을 미분계수의 정의로 읽어 f'(x)를 확정하는 데서 출발한다.

다른 점 · 교재는 대칭차분 형태의 극한을 정리해 도함수를 얻는 것이 전부지만, 논술은 f'(x)=-12의 실근이 1개라는 판별식 조건과 극값 위치, x축과의 세 교점 조건까지 이어진다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 16번

f′(0)=0\displaystyle{f ' \left ( 0 \right ) =0}인 다항함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }에 대하여 함수 g(x)\displaystyle{g \left ( x \right ) }를

g(x)={2x3−4x(x<0)f(x)−f(0)(x≥0)\displaystyle{g \left ( x \right ) = \begin{cases} 2x^{{3}} -4x & & \left ( x \lt 0 \right ) \\ f \left ( x \right ) -f \left ( 0 \right ) & & \left ( x \ge 0 \right ) \end{cases}}

이라 할 때, lim⁡x→0+g′(x)+lim⁡x→0−g′(x)\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow 0+}} g ' \left ( x \right ) + \lim \limits _{{x \rightarrow 0-}} g ' \left ( x \right ) }의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 8번

다항함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }가 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여

lim⁡h→0f(x+h)−f(x−h)h=−8x3+4x2+2\displaystyle{\lim \limits _{{h \rightarrow 0}} \dfrac {{f \left ( x+h \right ) -f \left ( x-h \right ) }} {{h}} = -8x^{{3}} +4x^{{2}} +2}

를 만족시킨다. 함수 g(x)\displaystyle{g \left ( x \right ) }를 g(x)=lim⁡h→0f(x+4h)−f(x−2h)2h\displaystyle{g \left ( x \right ) = \lim \limits _{{h \rightarrow 0}} \dfrac {{f \left ( x+4h \right ) -f \left ( x-2h \right ) }} {{2h}}}라 할 때, g(0)×g(1)\displaystyle{g \left ( 0 \right ) \times g \left ( 1 \right ) }의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수 0번

함수 f(x)=x2+ax\displaystyle{f(x)=x^{2}+a x} 에 대하여 lim⁡x→1xf′(x)x−1=b\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-1}=b} 일 때, ab\displaystyle{a b} 의 값을 구하시오. (단, a,b\displaystyle{a, b} 는 상수이다.)

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 1006번

이차함수 f(x)=ax2−4x+7\displaystyle{f(x)=ax^2-4x+7}가 다음 조건을 만족시키도록 하는 실수 a\displaystyle{a}의 최솟값은?

  • 모든 실수 x\displaystyle{x}에 대하여 lim⁡t→xf(2t−1)−f(2x−1)2(t−x)≤(x+2)f′(x)\displaystyle{\lim_{t \to x} \frac{f(2t-1)-f(2x-1)}{2(t-x)} \le (x+2)f '(x)}이다.

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