C195수학적 귀납법을 이용한 등식의 증명

다음은 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여
$\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{n} \dfrac {{2k^{2} -1}} {{k^{2} (k+1)^{2}}} = \left ( \dfrac {n} {n+1} \right ) ^{2}}$ $\displaystyle{\cdots \cdots }$(*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

• (i) $\displaystyle{n=1}$일 때,
  (좌변)$\displaystyle{= \dfrac {{2\times 1^{2} -1}} {{1^{2} \times 2^{2}}} = \dfrac {1} {4} ,}$ (우변)$\displaystyle{= \left ( \dfrac {1} {1+1} \right ) ^{2} = \dfrac {1} {4}}$
  이므로 (*)이 성립한다.

• (ii) $\displaystyle{n=m}$일 때 (*)이 성립한다고 가정하자.
  $\displaystyle{n=m+1}$일 때,
  $\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{m+1} \dfrac {{2k^{2} -1}} {{k^{2} (k+1)^{2}}}}$$\displaystyle{= \sum \limits _{k=1}^{m} \dfrac {{2k^{2} -1}} {{k^{2} (k+1)^{2}}} + \dfrac {\boxed{~(가)~}} {{(m+1)^{2} (m+2)^{2}}}}$
  $\displaystyle{= \dfrac {{(m^{2} + \boxed{~(나)~} \times m+1)^{2}}} {{(m+1)^{2} (m+2)^{2}}}}$
  $\displaystyle{= \left ( \dfrac {\boxed{~(다)~}} {m+2} \right ) ^{2}}$
  이다. 따라서 $\displaystyle{n=m+1}$일 때도 (*)이 성립한다.

• (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $\displaystyle{f(m),}$ $\displaystyle{g(m)}$이라 하고, (나)에 알맞은 수를 $\displaystyle{p }$라 할 때, $\displaystyle{p+f(9)+g( 10)}$의 값을 구하시오.

다음은 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여

$\displaystyle{\sum \limits _{{k=1}}^{{n}} k^{2} 2^{n-k+1} = 3 \times 2^{n+2} - 2n^{2} -8n-12}$ $\displaystyle{\cdots \cdots (＊)}$

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

• (ⅰ) $\displaystyle{n=1}$일 때,

• (좌변)$\displaystyle{=2,}$ (우변)$\displaystyle{=2}$이므로 $\displaystyle{(＊)}$이 성립한다.

• (ⅱ) $\displaystyle{n=m}$일 때,

• $\displaystyle{(＊)}$이 성립한다고 가정하면
  $\displaystyle{\sum \limits _{{k=1}}^{{m}} k^{2} 2^{m-k+1} = 3 \times 2^{m+2} - 2m^{2} -8m-12}$
  이다. $\displaystyle{n=m+1}$일 때,
  $\displaystyle{\sum \limits _{{k=1}}^{{m+1}} k^{2} 2^{(m+1)-k+1}}$
  $\displaystyle{= \sum \limits _{{k=1}}^{{m}} k^{2} 2^{m-k+2} + {{{~~(가)~~}}}}$
  $\displaystyle{= {(나)} \times \left ( 3 \times 2^{m+2} - 2m^{2} -8m-12 \right ) + {(가)}}$
  $\displaystyle{= 3 \times 2^{m+3} - 2 \left ( m+1 \right ) ^{2} - 8 \left ( m+1 \right ) - 12}$
  이다. 따라서, $\displaystyle{n=m+1}$일 때도 $\displaystyle{(＊)}$이 성립한다.

• (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여

• $\displaystyle{\sum \limits _{{k=1}}^{{n}} k^{2} 2^{n-k+1} = 3 \times 2^{n+2} - 2n^{2} - 8n-12}$

• 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $\displaystyle{f(m),}$ (나)에 알맞은 수를 $\displaystyle{p }$라 할 때, $\displaystyle{f(p)}$의 값은?

수열 $\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }$은 $\displaystyle{a_{1} =1}$이고, 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여
$\displaystyle{a_{n+1} - \dfrac {a_{n}} {2} =2^{-n-1}}$
을 만족시킨다. 다음은 일반항 $\displaystyle{a_{n}}$이
$\displaystyle{a_{n} = \dfrac {n+1} {2^{n}}}$ $\displaystyle{\cdots \cdots }$(*)
임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

• (i) $\displaystyle{n=1}$일 때,
  (좌변)$\displaystyle{=a_{1} =1,}$ (우변)$\displaystyle{= \dfrac {1+1} {2^{1}} =1}$
  이므로 (*)이 성립한다.

• (ii) $\displaystyle{n=k}$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
  $\displaystyle{a_{k+1} = \dfrac {a_{k}} {2} +2^{-k-1} =\boxed {~(가)~} + \dfrac {1} {2^{k+1}} = \dfrac {\boxed{~(나)~}} {2^{k+1}}}$
  이므로 $\displaystyle{n=k+1}$일 때도 (*)이 성립한다.

• (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $\displaystyle{f(k),}$ $\displaystyle{g(k)}$라 할 때, $\displaystyle{f(4)\times g(30)}$의 값을 구하시오.

수열 $\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }$이 $\displaystyle{a_{1} =1}$이고, 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여
$\displaystyle{a_{n+1} = \sum \limits _{k=1}^{n} (2n-2k+1)a_{k}}$
를 만족시킨다. 다음은 $\displaystyle{n \ge 3}$일 때, $\displaystyle{a_{n}}$을 구하는 과정이다.

• 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 $\displaystyle{a_{n+1} = \sum \limits _{k=1}^{n} (2n-2k+1)a_{k}}$이므로 $\displaystyle{a_{2} =1}$이고, $\displaystyle{a_{n+2}}$$\displaystyle{= \sum \limits _{k=1}^{n+1} \left \{ 2(n+1)-2k+1 \right \} a_{k}}$
  $\displaystyle{= \sum \limits _{k=1}^{n+1} (2n-2k+1)a_{k} +2 \sum \limits _{k=1}^{n+1} a_{k}}$
  $\displaystyle{= \sum \limits _{k=1}^{n} (2n-2k+1)a_{k} + {~(가)~} \times a_{n+1} +2 \sum \limits _{k=1}^{n+1} a_{k}}$
  $\displaystyle{=2 \sum \limits _{k=1}^{n+1} a_{k}}$이다. 즉, $\displaystyle{2 }$ 이상의 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 $\displaystyle{a_{n+1} =2 \sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}}$ $\displaystyle{\cdots \cdots }$㉠이므로 $\displaystyle{a_{n+2}}$$\displaystyle{=2 \sum \limits _{k=1}^{n+1} a_{k} =2 \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_{k} +a_{n+1} \right ) }$
  $\displaystyle{= {~(나)~} \times a_{n+1}}$이다. 따라서 $\displaystyle{3 }$ 이상의 모든 자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 $\displaystyle{a_{n+1} = {~(나)~} \times a_{n}}$이고, ㉠에서 $\displaystyle{a_{3} = {~(다)~}}$이므로 $\displaystyle{n \ge 3}$일 때 $\displaystyle{a_{n} = {~(라)~}}$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $\displaystyle{p,}$ $\displaystyle{q,}$ $\displaystyle{r }$이라 하고, (라)에 알맞은 식을 $\displaystyle{f(n)}$이라 할 때, $\displaystyle{f(p+q+r)}$의 값을 구하시오.