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C180시그마로 표현된 수열의 합과 일반항 사이의 관계

교재 2문항 · 논술 기출 1문항

핵심

∑k=1nak=Sn\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n 이라 두면 an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_n=S_n-S_{n-1}\,(n\ge2) 다. 시그마의 위끝이 2n−12n-1 처럼 변형돼 있어도 원리는 같다 — 이웃한 두 식을 빼는 것이다.

해법

  1. 1주어진 식에서 nn 대신 n−1n-1 을 넣은 식을 나란히 적는다.
  2. 2두 식을 빼서 남는 항이 무엇인지 확인한다.
  3. 3위끝이 2n−12n-1 이면 빼고 남는 것은 두 항(a2n−2+a2n−1a_{2n-2}+a_{2n-1})이다.
  4. 4n=1n=1 을 따로 확인해 첫 항을 정한다.

공략

  • · 위끝이 2n−12n-1 이면 이웃한 두 식의 차가 한 항이 아니라 두 항이다. 습관적으로 ana_n 하나만 남는다고 생각하면 틀린다.
  • · am=∑k=1mka_m=\sum_{k=1}^{m}k 처럼 일반항 자체가 시그마면 먼저 공식으로 닫힌 식을 만든다. 그래야 다음 시그마를 계산할 수 있다.
  • · n=1n=1 확인은 여기서도 필수다. 위끝이 변형된 경우에는 첫 항이 일반식에서 벗어나는 일이 더 잦다.
학년도202520262027
교재 문항 수11—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)1%/108문항1%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 상명대 4번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 25번

모든 항이 자연수인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.(가) a2n−1=n3+1\displaystyle a_{2n-1}=n^3+1 (나) a2n−a2n−1=d\displaystyle a_{2n}-a_{2n-1}=d ( d\displaystyle d 는 상수)(다) an<an+1\displaystyle a_n<a_{n+1} 다음 물음에 답하시오.(1) ∑n=113an\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.(2) ∑n=113an\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n 의 값이 최소일 때, a16\displaystyle a_{16} 의 값을 구하시오.[답란] (1) ∑n=113an\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하시오. (7.8점) (2) a16=\displaystyle a_{16}= ______ (2.2점) 〔전체 10점〕

교재와 닮은 점 · 홀수 번째 항이 식으로 주어진 수열에서 인덱스를 나눠 합을 다루는 개념이 같다. 논술은 a_{2n-1}=n^3+1과 a_{2n}=a_{2n-1}+d로 홀·짝을 나눠 Σ를 자연수 거듭제곱의 합으로 계산한다.

다른 점 · 논술은 증가수열 조건에서 d의 범위 1≤d≤6을 먼저 좁히고 합의 최대·최소 차를 묻는다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 2개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 25번

수열 {an}\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }이 모든 자연수 n\displaystyle{n }에 대하여
∑k=12n−1ak=n2+n\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{2n-1} a_{k} =n^{2} +n}
을 만족시킨다. a10=5\displaystyle{a_{10} =5}일 때, a1+a11\displaystyle{a_{1} +a_{11}}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법 0번

자연수 m\displaystyle{m}에 대하여 am=∑k=1mk\displaystyle{a_{m}=\sum_{k=1}^{m} k}일 때,

∑m=1namm+1≥100\displaystyle{\sum_{m=1}^{n} \frac{a_{m}}{m+1} \geq 100}을 만족시키는 자연수 n\displaystyle{n}의 최솟값을 구하시오.

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C190 항을 나열하는 귀납적 정의기출 3공략C166 시그마의 성질을 이용한 계산기출 2공략C140 등차수열의 합기출 2공략C174 일반항을 찾아 수열의 합 구하기기출 2공략C151 항의 관계가 주어진 등비수열기출 2공략C158 조건을 만족시키는 등비수열의 합기출 2공략C168 자연수의 거듭제곱의 합기출 2공략C179 분수꼴인 수열의 합기출 2공략