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C171등차수열, 등비수열과 시그마의 활용

교재 6문항 · 논술 기출 1문항

핵심

시그마 안에 등차·등비수열이 들어 있으면 먼저 선형성으로 쪼개고, ∑k\sum k, ∑k2\sum k^2, 등비합 공식으로 갈아 끼운다. ∑(an)2\sum(a_n)^2 처럼 제곱이 씌워진 것은 쪼갤 수 없으니 일반항을 전개해 다항식으로 만든 뒤 처리한다.

해법

  1. 1일반항을 nn 의 식으로 명시적으로 적는다.
  2. 2제곱이나 곱이 있으면 전개해 nn 의 다항식으로 만든다.
  3. 3차수별로 거듭제곱의 합 공식에 넣는다.
  4. 4등비 부분이 섞여 있으면 그 부분만 따로 등비합 공식으로 계산해 더한다.

공략

  • · ∑(an)2\sum(a_n)^2 는 (∑an)2(\sum a_n)^2 이 아니다. 반드시 일반항을 전개해 ∑(3k−2)2=9∑k2−12∑k+4n\sum(3k-2)^2=9\sum k^2-12\sum k+4n 처럼 펼친다.
  • · ∑(2ak−1)\sum(2a_k-1) 에서 상수 −1-1 은 −n-n 이 된다. 항의 개수를 곱하는 것을 빠뜨리는 실수가 가장 흔하다.
  • · 등차와 등비가 곱해진 ∑k⋅2k\sum k\cdot2^k 꼴은 S−2SS-2S 를 만들어 소거한다. 교과 범위 안에서는 이 계산을 유도 과정과 함께 써야 한다.
학년도202520262027
교재 문항 수51—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)5%/108문항1%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 상명대 2번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법

등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에서 a4=7\displaystyle a_4=7 , a11=21\displaystyle a_{11}=21 일 때,(1) 일반항 an\displaystyle a_n 을 구하시오.(2) ∑k=1101akak+2\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\frac{1}{a_k a_{k+2}} 의 값을 구하시오.(3) 부등식 ∑k=1m4akak+2<1312\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{4}{a_k a_{k+2}}<\frac{13}{12} 을 만족시키는 자연수 m\displaystyle m 을 모두 구하시오. (10점)① an=\displaystyle a_n= __________ (2.5점)② ∑k=1101akak+2=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\frac{1}{a_k a_{k+2}}= __________ (2.8점)③ m=\displaystyle m= __________ (4.7점)

교재와 닮은 점 · 교재는 공차 2인 등차수열에서 Σ1/(a_n a_{n+1})=5/48로 a_1을 구하고, 논술은 a_4=7, a_11=21인 등차수열에서 Σ1/(a_k a_{k+2})를 계산한다. 부분분수로 분해해 소거하는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 간격이 2칸이라 1/4{...} 꼴로 분해되고, 부등식을 만족하는 m을 모두 구하는 소문항이 더 있다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 3번

등차수열 {an}\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }에 대하여
a1=20,\displaystyle{a_{1} =20,} ∑k=110(2ak−1)=100\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{10} (2a_{k} -1)=100}
일 때, a10\displaystyle{a_{10}}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법 0번

첫째항이 1\displaystyle{1}이고 공차가 3\displaystyle{3}인 등차수열 {an}\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}에 대하여 ∑n=17(an)2\displaystyle{\sum_{n=1}^{7}\left(a_{n}\right)^{2}}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법 0번

첫째항이 3\displaystyle{3}인 수열 {an}\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}이 모든 자연수 n\displaystyle{n}에 대하여 ∑k=1n(akk−ak+1k+1)=−n\displaystyle{\\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{a_{k}}{k}-\frac{a_{k+1}}{k+1}\right)=-n\\}을 만족시킬 때, ∑n=18180an\displaystyle{\sum_{n=1}^{8} \frac{180}{a_{n}}}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적 귀납법 0번

첫째항이 5\displaystyle{5}인 등차수열 {an}\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}에 대하여 ∑n=110(an+2−an)=30\displaystyle{\\ \sum_{n=1}^{10}\left(a_{n+2}-a_{n}\right)=30\\}일 때, ∑n=15a2n−1\displaystyle{\sum_{n=1}^{5} a_{2 n-1}}의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

C190 항을 나열하는 귀납적 정의기출 3공략C166 시그마의 성질을 이용한 계산기출 2공략C140 등차수열의 합기출 2공략C174 일반항을 찾아 수열의 합 구하기기출 2공략C151 항의 관계가 주어진 등비수열기출 2공략C158 조건을 만족시키는 등비수열의 합기출 2공략C168 자연수의 거듭제곱의 합기출 2공략C179 분수꼴인 수열의 합기출 2공략