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C160등비수열과 도형

교재 3문항 · 논술 기출 1문항

핵심

닮은 도형이 반복되면 넓이나 길이가 일정한 비로 줄어든다. 그 비가 공비이고, 도형 문제는 첫째항과 공비 두 개만 찾으면 수열 문제로 바뀐다.

해법

  1. 1첫 번째 도형의 길이나 넓이를 구해 a1a_1 로 삼는다.
  2. 2다음 도형이 몇 배로 줄어드는지 닮음비로 구한다.
  3. 3길이의 닮음비가 kk 면 넓이의 비는 k2k^2 임을 적용해 공비를 정한다.
  4. 4등비수열의 일반항이나 합 공식에 넣는다.

공략

  • · 넓이의 비는 닮음비의 제곱이다. 길이의 비를 그대로 공비로 쓰는 실수가 이 유형에서 가장 잦다.
  • · nn 번째 도형인지 nn 번째까지의 합인지 발문을 정확히 읽는다. 일반항과 합을 혼동하면 통째로 틀린다.
  • · 첫 도형의 번호가 00 번인지 11 번인지 확인한다. 지수가 하나 어긋나면 답이 공비만큼 빗나간다.
학년도202520262027
교재 문항 수21—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)2%/108문항1%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 서경대 6번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열

그림과 같이 중심이 각각 점 O1\displaystyle \mathrm{O}_1 , 점 O2\displaystyle \mathrm{O}_2 , 점 O3\displaystyle \mathrm{O}_3 이고 반지름의 길이가 각각 r1\displaystyle r_1 , r2\displaystyle r_2 , r3\displaystyle r_3 인 세 원 C1\displaystyle C_1 , C2\displaystyle C_2 , C3\displaystyle C_3 이 다음 조건을 만족시킨다.(가) O1O2‾=r1+r2\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}=r_1+r_2 , O2O3‾=r2+r3\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3}=r_2+r_3 , O1O3‾=r1+2r2+r3\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_3}=r_1+2r_2+r_3 (나) 세 원의 반지름 r1\displaystyle r_1 , r2\displaystyle r_2 , r3\displaystyle r_3 는 순서대로 등비수열을 이룬다.(다) 세 원 C1\displaystyle C_1 , C2\displaystyle C_2 , C3\displaystyle C_3 에 모두 접하는 직선 l\displaystyle l 이 존재한다.수평인 직선 $l$ 위에 세 원이 왼쪽부터 작은 원 $C_1$ , 그보다 큰 원 $C_2$ , 가장 큰 원 $C_3$ 의 순서로 놓여 있고, 세 원 모두 직선 $l$ 에 접한다. 이웃한 두 원은 서로 외접한다.두 원 $C_1$ , $C_3$ 이 직선 $l$ 과 접하는 점을 각각 $\mathrm{G}$ , $\mathrm{H}$ 라 하자. $r_1=1$ , $\overline{\mathrm{GH}}=20$ 일 때, 두 원 $C_2$ , $C_3$ 넓이의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)O₁O₂O₃GHC₁C₂C₃l

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항의 조건 (가)(나)(다)와 r₁=1, GH=20 까지 논술과 문구가 사실상 동일하다. 세 중심이 한 직선 위에 있음과 공통접선을 이용한 직각삼각형 계산이 같다.

다른 점 · 교재는 세 원 C₁,C₂,C₃ 넓이의 합을, 논술은 C₂,C₃ 두 원 넓이의 합을 묻는다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 3개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 34번

그림과 같이 두 삼각형 ABC,\displaystyle{ABC,} ACD\displaystyle{ACD}에 대하여 5\displaystyle{5 }개의 선분의 길이 AB‾,\displaystyle{\overline {AB} ,} BC‾,\displaystyle{\overline {BC} ,} CA‾,\displaystyle{\overline {CA} ,} AD‾,\displaystyle{\overline {AD} ,} CD‾\displaystyle{\overline {CD}} 가 이 순서대로 등비수열을 이룬다. CD‾AB‾=4\displaystyle{\dfrac {\overline {CD}} {\overline {AB}} =4}이고 삼각형 ABC\displaystyle{ABC}의 넓이가 7\displaystyle{\sqrt {7}}일 때, 삼각형 ACD\displaystyle{ACD}의 넓이를 S\displaystyle{S }라 하자. CA‾×S\displaystyle{\overline {CA} \times S}의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 0번

중심이 각각 점 O1\displaystyle{\mathrm{O}_{1}}, 점 O2\displaystyle{\mathrm{O}_{2}}, 점 O3\displaystyle{\mathrm{O}_{3}}이고 반지름의 길이가 각각 r1,r2,r3\displaystyle{r_{1}, r_{2}, r_{3}}인 세 원 C1,C2,C3\displaystyle{C_{1}, C_{2}, C_{3}}이 다음 조건을 만족시킨다. \displaystyle{\\}

  • O1O2‾=r1+r2,O2O3‾\displaystyle{\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}=r_1+r_2,\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3}}} =r2+r3,O1O3‾=r1+2r2+r3\displaystyle{=r_2+r_3,\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{3}}=r_1+2r_2+r_3}

  • 세 수 r1,r2,r3\displaystyle{r_{1}, r_{2}, r_{3}}은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. \displaystyle{\\}

  • 세 원 C1,C2,C3\displaystyle{C_{1}, C_{2}, C_{3}}에 모두 접하는 직선 l\displaystyle{l}이 존재한다. \displaystyle{\\}

두 원 C1,C3\displaystyle{C_{1}, C_{3}}이 직선 l\displaystyle{l}과 접하는 점을 각각 G,H\displaystyle{\mathrm{G}, \mathrm{H}}라 하자. r1=1,GH‾=20\displaystyle{r_{1}=1, \overline{\mathrm{GH}}=20}일 때, 세 원 C1,C2,C3\displaystyle{C_{1}, C_{2}, C_{3}}의 넓이의 합을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 0번

그림과 같이 한 변의 길이가 5\displaystyle{5}인 정사각형 A1 B1CD1\displaystyle{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{CD}_{1}}에 대하여 선분 A1D1\displaystyle{\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1}}을 2:1\displaystyle{2: 1}로 내분하는 점을 P1\displaystyle{\mathrm{P}_{1}}이라 하고, 선분 P1 B1\displaystyle{\mathrm{P}_{1} \mathrm{~B}_{1}} 위의 점 A2\displaystyle{\mathrm{A}_{2}} , 선분 B1C\displaystyle{\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}} 위의 점 B2\displaystyle{\mathrm{B}_{2}} , 선분 CD1\displaystyle{\mathrm{CD}_{1}} 위의 점 D2\displaystyle{\mathrm{D}_{2}}를 사각형 A2 B2CD2\displaystyle{\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{2} \mathrm{CD}_{2}}가 정사각형이 되도록 잡는다. \displaystyle{\\} 또 선분 A2D2\displaystyle{\mathrm{A}_{2} \mathrm{D}_{2}}를 2:1\displaystyle{2: 1}로 내분하는 점을 P2\displaystyle{\mathrm{P}_{2}}라 하고, 선분 P2 B2\displaystyle{\mathrm{P}_{2} \mathrm{~B}_{2}} 위의 점 A3\displaystyle{\mathrm{A}_{3}} , 선분 B2C\displaystyle{\mathrm{B}_{2} \mathrm{C}} 위의 점 B3\displaystyle{\mathrm{B}_{3}} , 선분 CD2\displaystyle{\mathrm{CD}_{2}} 위의 점 D3\displaystyle{\mathrm{D}_{3}}을 사각형 A3 B3CD3\displaystyle{\mathrm{A}_{3} \mathrm{~B}_{3} \mathrm{CD}_{3}}이 정사각형이 되도록 잡는다. 이와 같은 과정을 계속할 때, 사각형 An BnCDn\displaystyle{\mathrm{A}_{n} \mathrm{~B}_{n} \mathrm{CD}_{n}}의 둘레의 길이를 an\displaystyle{a_{n}}이라 하자. a5=qp\displaystyle{a_{5}=\frac{q}{p}}일 때, p+q\displaystyle{p+q}의 값을 구하시오. (단, p\displaystyle{p}와 q\displaystyle{q}는 서로소인 자연수이다.)

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