C105대칭성을 이용한 삼각방정식

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

삼각함수 그래프는 대칭축과 대칭점을 갖는다. $y=\sin x$ 는 $x=\dfrac\pi2+n\pi$ 에서 대칭축, $y=\tan x$ 는 $x=\dfrac{n\pi}2$ 근방에서 점대칭이다 — 두 근의 합이 대칭축의 두 배라는 사실이 계산을 없앤다.

해법

1그래프와 직선의 교점이 몇 개인지 그림으로 확인한다.
2교점들이 어느 대칭축에 대해 짝을 이루는지 찾는다.
3짝지어진 두 근의 합을 대칭축의 두 배로 쓴다.
4짝이 없는 근은 따로 구한다.

공략

· $\sin x=k$ 의 두 근은 $x=\alpha$ 와 $x=\pi-\alpha$ 이므로 합이 $\pi$ 다. 근을 구하지 않고도 합을 답할 수 있다.
· $\cos x=k$ 의 두 근은 합이 $2\pi$ 다. 사인과 코사인의 대칭축 위치가 다르다는 점을 구분해 외울 것.
· $y=\sin2x$ 처럼 주기가 바뀌면 대칭축의 간격도 함께 바뀐다. 각의 계수로 나눠 대칭축을 다시 계산해야 한다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	1	3	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	1%/90문항	4%/72문항	0%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 11번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 03.삼각함수 40제 9번

$\displaystyle -\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}$ 에서 기울기가 양수이고 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{4},\ 0\right)$ 을 지나는 직선과 함수 $\displaystyle y=\tan 2\pi x$ 의 그래프가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b\ (a<b)$ 라 하자. $\displaystyle a+2b=\frac{7}{6}$ 일 때, $\displaystyle \sin(2a+b)\pi$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

교재와 닮은 점 · 탄젠트 그래프가 점근선 중간점에 대해 점대칭임을 이용해 두 교점의 x좌표 합을 구하고, 주어진 a+2b 값에서 각 해를 분리해 sin 값을 계산하는 과정이 완전히 같다.

다른 점 · y=tan x, 점 (π/2, 0), α+2β=13π/6이 y=tan 2πx, 점 (1/4, 0), a+2b=7/6으로 주기만 π→1/2로 축소되었다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 7번

$\displaystyle 0\le x \le 2\pi$ 에서 함수 $\displaystyle y= \sin 2x$ 의 그래프 위에 $\displaystyle x$ 좌표가 각각 $\displaystyle \dfrac {\pi } {12} ,$ $\displaystyle \dfrac {\pi } {3} ,$ $\displaystyle \alpha ,$ $\displaystyle \beta \left ( \dfrac {3} {2} \pi \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi \right )$ 인 네 점 $\displaystyle A,$ $\displaystyle B,$ $\displaystyle C,$ $\displaystyle D$ 가 있다. 사각형 $\displaystyle ACDB$ 가 평행사변형일 때, $\displaystyle \dfrac {\beta } {\alpha }$ 의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅰ 03. 삼각함수 0번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $\displaystyle{\\}$

$\displaystyle{0 \leq x \leq 4}$ 일 때, $\displaystyle{f(x)=\sin \frac{\pi}{2} x}$ 이다.
모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 $\displaystyle{f(-x)=f(x), f(x+8)=f(x)}$ 이다.

$\displaystyle{\\ 0<x<20}$ 일 때, 방정식 $\displaystyle{|f(x)+f(x-2)|=2}$ 의 모든 근의 합을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 9번

$\displaystyle - \dfrac {\pi } {2} \lt x\lt \dfrac {3} {2} \pi$ 에서 기울기가 양수이고 점 $\displaystyle \left ( \dfrac {\pi } {2} ,~0 \right )$ 을 지나는 직선과 함수 $\displaystyle y= \tan x$ 의 그래프가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle \alpha ,$ $\displaystyle \beta (\alpha \lt \beta )$ 라 하자. $\displaystyle \alpha +2\beta = \dfrac {13} {6} \pi$ 일 때, $\displaystyle \sin (2\alpha +\beta )$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 31번

두 양수 $\displaystyle a,$ $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle - \dfrac {1} {4} \lt x\lt \dfrac {3} {4}$ 에서 직선 $\displaystyle y=a \left ( x- \dfrac {1} {4} \right )$ 과 함수 $\displaystyle y= \tan 2\pi x$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 좌표가 각각 $\displaystyle - \dfrac {1} {6} ,$ $\displaystyle b$ 인 두 점에서 만날 때, $\displaystyle ab$ 의 값은?

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